Номер 17.37, страница 90 - гдз по физике 8 класс задачник Генденштейн, Кирик

Электромагнитные явления. 17. Работа и мощность тока - номер 17.37, страница 90.

Условие.

17.37. Резисторы сопротивлением 24 и 72 Ом подключают к источнику постоянного напряжения один раз последовательно, а другой — параллельно. В каком случае в первом из резисторов выделяется большее количество теплоты за одно и то же время? Во сколько раз?

Решение.

Дано:

$R_1 = 24$ Ом (сопротивление первого резистора)

$R_2 = 72$ Ом (сопротивление второго резистора)

$U = \text{const}$ (напряжение источника)

$t = \text{const}$ (промежуток времени)

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

В каком случае на резисторе $R_1$ выделится большее количество теплоты ($Q_1$) и во сколько раз?

Решение:

Количество теплоты, выделяемое в резисторе за время $\text{t}$, описывается законом Джоуля-Ленца. Для решения задачи мы будем использовать две формы этого закона: $Q = I^2 R t$ и $Q = \frac{U_{res}^2}{R} t$, где $\text{I}$ — сила тока через резистор, а $U_{res}$ — напряжение на нём.

Рассмотрим случай последовательного соединения. Общее сопротивление цепи равно сумме сопротивлений:

$R_{посл} = R_1 + R_2$.

Сила тока в цепи, согласно закону Ома, одинакова для всех элементов:

$I_{посл} = \frac{U}{R_{посл}} = \frac{U}{R_1 + R_2}$.

Тогда количество теплоты, выделившееся на первом резисторе ($R_1$), равно:

$Q_{1, посл} = I_{посл}^2 R_1 t = \left(\frac{U}{R_1 + R_2}\right)^2 R_1 t$.

Теперь рассмотрим случай параллельного соединения. При таком подключении напряжение на каждом из резисторов равно напряжению источника:

$U_1 = U$.

Количество теплоты, выделившееся на первом резисторе ($R_1$), в этом случае удобнее рассчитать по формуле, использующей напряжение:

$Q_{1, парал} = \frac{U_1^2}{R_1} t = \frac{U^2}{R_1} t$.

Чтобы определить, в каком случае выделится больше теплоты и во сколько раз, найдем отношение количества теплоты при параллельном соединении к количеству теплоты при последовательном:

$\frac{Q_{1, парал}}{Q_{1, посл}} = \frac{\frac{U^2}{R_1} t}{\left(\frac{U}{R_1 + R_2}\right)^2 R_1 t}$.

Сократим одинаковые множители $U^2$ и $\text{t}$:

$\frac{Q_{1, парал}}{Q_{1, посл}} = \frac{\frac{1}{R_1}}{\frac{R_1}{(R_1 + R_2)^2}} = \frac{(R_1 + R_2)^2}{R_1 \cdot R_1} = \frac{(R_1 + R_2)^2}{R_1^2} = \left(\frac{R_1 + R_2}{R_1}\right)^2$.

Подставим числовые значения:

$\frac{Q_{1, парал}}{Q_{1, посл}} = \left(\frac{24\text{ Ом} + 72\text{ Ом}}{24\text{ Ом}}\right)^2 = \left(\frac{96}{24}\right)^2 = 4^2 = 16$.

Отношение больше единицы, следовательно, при параллельном соединении на первом резисторе выделяется большее количество теплоты.

Ответ:

Большее количество теплоты в первом резисторе выделяется при параллельном соединении; в этом случае тепла выделяется в 16 раз больше, чем при последовательном.