Номер 17.43, страница 90 - гдз по физике 8 класс задачник Генденштейн, Кирик

Электромагнитные явления. 17. Работа и мощность тока - номер 17.43, страница 90.

Условие.

17.43. Помещение освещают четыре последовательно соединенные лампы, на каждой из которых написано: «12 В, 25 Вт». Лампы горят нормальным накалом. Одна из ламп перегорела; ее заменили лампой, на которой написано: «12 В, 40 Вт». Будет ли новая лампа светить ярче других? Увеличится или уменьшится общая мощность тока?

Решение.

Дано:

Количество первоначальных ламп: $n=4$

Номинальное напряжение каждой лампы: $U_{ном} = 12 \text{ В}$

Номинальная мощность первоначальных ламп: $P_1 = 25 \text{ Вт}$

Номинальная мощность новой лампы: $P_2 = 40 \text{ Вт}$

Соединение: последовательное

Найти:

1. Будет ли новая лампа светить ярче других?

2. Увеличится или уменьшится общая мощность тока?

Решение:

Сначала определим параметры цепи в исходном состоянии. Поскольку четыре одинаковые лампы соединены последовательно и горят нормальным накалом, напряжение на каждой из них равно номинальному ($12 \text{ В}$). Следовательно, напряжение источника тока в цепи постоянно и равно:

$U_{общ} = 4 \cdot U_{ном} = 4 \cdot 12 \text{ В} = 48 \text{ В}$

Теперь найдем сопротивление каждой лампы, исходя из ее номинальных характеристик (мощности $\text{P}$ и напряжения $U_{ном}$), по формуле $P = \frac{U^2}{R}$, из которой следует, что $R = \frac{U^2}{P}$.

Сопротивление ламп мощностью 25 Вт:

$R_1 = \frac{U_{ном}^2}{P_1} = \frac{(12 \text{ В})^2}{25 \text{ Вт}} = \frac{144}{25} \text{ Ом} = 5.76 \text{ Ом}$

Сопротивление новой лампы мощностью 40 Вт:

$R_2 = \frac{U_{ном}^2}{P_2} = \frac{(12 \text{ В})^2}{40 \text{ Вт}} = \frac{144}{40} \text{ Ом} = 3.6 \text{ Ом}$

Из расчетов видно, что лампа, рассчитанная на большую мощность (40 Вт), имеет меньшее сопротивление ($R_2 < R_1$).

Будет ли новая лампа светить ярче других?

После замены одной лампы в цепи последовательно включены три лампы с сопротивлением $R_1$ и одна лампа с сопротивлением $R_2$. При последовательном соединении сила тока $\text{I}$ одинакова для всех элементов цепи. Яркость свечения лампы накаливания определяется ее фактической мощностью, которая в данном случае удобнее всего рассчитывается по формуле $P_{факт} = I^2 \cdot R$.

Поскольку сила тока $\text{I}$ для всех четырех ламп одинакова, больше мощности будет выделяться на лампе с большим сопротивлением. Сравнивая сопротивления $R_1 = 5.76 \text{ Ом}$ и $R_2 = 3.6 \text{ Ом}$, мы видим, что $R_1 > R_2$.

Это означает, что фактическая мощность "старых" ламп ($P_{факт,1} = I^2 R_1$) будет больше фактической мощности новой лампы ($P_{факт,2} = I^2 R_2$). Таким образом, новая лампа, имеющая большую номинальную мощность, в данном включении будет светить тусклее остальных трех ламп.

Ответ: Нет, новая лампа будет светить тусклее других.

Увеличится или уменьшится общая мощность тока?

Общая мощность, потребляемая всей цепью от источника, вычисляется по формуле $P_{общ} = \frac{U_{общ}^2}{R_{общ}}$. Так как напряжение источника $U_{общ}$ является постоянной величиной, изменение общей мощности обратно пропорционально изменению общего сопротивления цепи.

Вычислим общее сопротивление цепи до и после замены лампы.

Общее сопротивление до замены (четыре лампы по 25 Вт):

$R_{общ, до} = 4 \cdot R_1 = 4 \cdot 5.76 \text{ Ом} = 23.04 \text{ Ом}$

Общее сопротивление после замены (три лампы по 25 Вт и одна на 40 Вт):

$R_{общ, после} = 3 \cdot R_1 + R_2 = 3 \cdot 5.76 \text{ Ом} + 3.6 \text{ Ом} = 17.28 \text{ Ом} + 3.6 \text{ Ом} = 20.88 \text{ Ом}$

Сравнивая полученные значения, видим, что $R_{общ, после} < R_{общ, до}$ ($20.88 \text{ Ом} < 23.04 \text{ Ом}$).

Поскольку общее сопротивление цепи уменьшилось, а напряжение источника осталось прежним, общая мощность тока в цепи увеличится.

Для проверки можно рассчитать мощности:

$P_{общ, до} = \frac{U_{общ}^2}{R_{общ, до}} = \frac{(48 \text{ В})^2}{23.04 \text{ Ом}} = 100 \text{ Вт}$

$P_{общ, после} = \frac{U_{общ}^2}{R_{общ, после}} = \frac{(48 \text{ В})^2}{20.88 \text{ Ом}} \approx 110.34 \text{ Вт}$

Так как $110.34 \text{ Вт} > 100 \text{ Вт}$, общая мощность действительно увеличилась.

Ответ: Общая мощность тока увеличится.