Номер 17.49, страница 91 - гдз по физике 8 класс задачник Генденштейн, Кирик

Электромагнитные явления. 17. Работа и мощность тока - номер 17.49, страница 91.

Условие.

17.49. Какой из резисторов (рис. 78) потребляет больше энергии, если их сопротивление $R_2 = R_3 = 2R_1$, $R_4 = 4R_1$?

Рис. 78

Решение.

Дано:

$R_2 = 2R_1$

$R_3 = 2R_1$

$R_4 = 4R_1$

Найти:

Какой из резисторов потребляет больше энергии.

Решение:

Энергия $\text{Q}$, выделяемая на резисторе за время $\text{t}$, определяется по закону Джоуля-Ленца. Она прямо пропорциональна мощности $\text{P}$, выделяемой на резисторе: $Q = P \cdot t$. Поскольку время прохождения тока через все элементы цепи одинаково, больше энергии будет потреблять тот резистор, на котором выделяется наибольшая мощность.

Мощность на резисторе можно рассчитать по формуле $P = I^2 R$, где $\text{I}$ - сила тока, протекающего через резистор, а $\text{R}$ - его сопротивление.

Схема представляет собой две параллельные ветви. Верхняя ветвь состоит из последовательно соединенных резисторов $R_1$ и $R_2$. Нижняя ветвь состоит из последовательно соединенных резисторов $R_3$ и $R_4$.

1. Найдем общее сопротивление каждой ветви:

Сопротивление верхней ветви: $R_{12} = R_1 + R_2 = R_1 + 2R_1 = 3R_1$.

Сопротивление нижней ветви: $R_{34} = R_3 + R_4 = 2R_1 + 4R_1 = 6R_1$.

2. Так как ветви соединены параллельно, напряжение $\text{U}$ на них одинаково. Найдем силу тока в каждой ветви по закону Ома:

Сила тока в верхней ветви: $I_{12} = \frac{U}{R_{12}} = \frac{U}{3R_1}$.

Сила тока в нижней ветви: $I_{34} = \frac{U}{R_{34}} = \frac{U}{6R_1}$.

3. При последовательном соединении сила тока на всех элементах ветви одинакова. То есть, через $R_1$ и $R_2$ течет ток $I_{12}$, а через $R_3$ и $R_4$ - ток $I_{34}$. Рассчитаем мощность, выделяемую на каждом резисторе:

Мощность на $R_1$: $P_1 = I_{12}^2 R_1 = \left(\frac{U}{3R_1}\right)^2 R_1 = \frac{U^2}{9R_1^2} R_1 = \frac{U^2}{9R_1}$.

Мощность на $R_2$: $P_2 = I_{12}^2 R_2 = \left(\frac{U}{3R_1}\right)^2 (2R_1) = \frac{U^2}{9R_1^2} \cdot 2R_1 = \frac{2U^2}{9R_1}$.

Мощность на $R_3$: $P_3 = I_{34}^2 R_3 = \left(\frac{U}{6R_1}\right)^2 (2R_1) = \frac{U^2}{36R_1^2} \cdot 2R_1 = \frac{2U^2}{36R_1} = \frac{U^2}{18R_1}$.

Мощность на $R_4$: $P_4 = I_{34}^2 R_4 = \left(\frac{U}{6R_1}\right)^2 (4R_1) = \frac{U^2}{36R_1^2} \cdot 4R_1 = \frac{4U^2}{36R_1} = \frac{U^2}{9R_1}$.

4. Сравним полученные значения мощностей. Для удобства приведем дроби к общему знаменателю $18R_1$:

$P_1 = \frac{2U^2}{18R_1}$

$P_2 = \frac{4U^2}{18R_1}$

$P_3 = \frac{U^2}{18R_1}$

$P_4 = \frac{2U^2}{18R_1}$

Сравнивая числители, получаем: $P_2 > P_1 = P_4 > P_3$.

Наибольшая мощность выделяется на резисторе $R_2$, следовательно, он и потребляет больше всего энергии.

Ответ:

Больше всего энергии потребляет резистор $R_2$.