Номер 17.50, страница 92 - гдз по физике 8 класс задачник Генденштейн, Кирик

Электромагнитные явления. 17. Работа и мощность тока - номер 17.50, страница 92.

Условие.

17.50. Если два резистора подключены последовательно к источнику постоянного напряжения, то мощность тока в цепи 4 Вт; если те же резисторы подключены к этому источнику параллельно, то мощность тока 18 Вт. Какова будет мощность тока в каждом из резисторов, если их поочередно подключать к тому же источнику напряжения?

Решение.

Дано:

Мощность при последовательном соединении $P_{посл} = 4 \text{ Вт}$

Мощность при параллельном соединении $P_{пар} = 18 \text{ Вт}$

Напряжение источника $U = \text{const}$

Найти:

Мощности каждого резистора при индивидуальном подключении $P_1, P_2 - ?$

Решение:

Обозначим сопротивления резисторов как $R_1$ и $R_2$, а напряжение источника как $\text{U}$.

Мощность, выделяемая на резисторе, подключенном к источнику напряжения $\text{U}$, определяется формулой $P = \frac{U^2}{R}$.

Следовательно, мощности каждого из резисторов при их поочередном подключении к источнику будут равны:

$P_1 = \frac{U^2}{R_1}$ и $P_2 = \frac{U^2}{R_2}$

Из этих формул можно выразить сопротивления через мощности:

$R_1 = \frac{U^2}{P_1}$ и $R_2 = \frac{U^2}{P_2}$

Рассмотрим случай последовательного соединения. Общее сопротивление цепи $R_{посл} = R_1 + R_2$.

Мощность всей цепи при последовательном соединении:

$P_{посл} = \frac{U^2}{R_{посл}} = \frac{U^2}{R_1 + R_2}$

Подставим выражения для $R_1$ и $R_2$:

$P_{посл} = \frac{U^2}{\frac{U^2}{P_1} + \frac{U^2}{P_2}} = \frac{U^2}{U^2(\frac{1}{P_1} + \frac{1}{P_2})} = \frac{1}{\frac{P_2 + P_1}{P_1 P_2}} = \frac{P_1 P_2}{P_1 + P_2}$

Согласно условию, $P_{посл} = 4 \text{ Вт}$, поэтому получаем первое уравнение:

$\frac{P_1 P_2}{P_1 + P_2} = 4$

Рассмотрим случай параллельного соединения. Общая мощность цепи при параллельном соединении равна сумме мощностей, потребляемых каждым элементом:

$P_{пар} = P_1 + P_2$

Это также можно вывести через общее сопротивление $R_{пар} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$:

$P_{пар} = \frac{U^2}{R_{пар}} = \frac{U^2(R_1 + R_2)}{R_1 R_2} = \frac{U^2}{R_1} + \frac{U^2}{R_2} = P_1 + P_2$

Согласно условию, $P_{пар} = 18 \text{ Вт}$, поэтому получаем второе уравнение:

$P_1 + P_2 = 18$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными $P_1$ и $P_2$:

$\begin{cases} P_1 + P_2 = 18 \\ \frac{P_1 P_2}{P_1 + P_2} = 4 \end{cases}$

Подставим значение $P_1 + P_2$ из первого уравнения во второе:

$\frac{P_1 P_2}{18} = 4 \implies P_1 P_2 = 72$

Теперь решаем систему:

$\begin{cases} P_1 + P_2 = 18 \\ P_1 P_2 = 72 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $P_2 = 18 - P_1$ и подставим во второе:

$P_1(18 - P_1) = 72$

$18P_1 - P_1^2 = 72$

$P_1^2 - 18P_1 + 72 = 0$

Это квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-18)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 72 = 324 - 288 = 36$

Корни уравнения:

$P_1 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{18 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{18 \pm 6}{2}$

Получаем два возможных значения для $P_1$:

$P_{1a} = \frac{18 + 6}{2} = 12 \text{ Вт}$

$P_{1b} = \frac{18 - 6}{2} = 6 \text{ Вт}$

Если $P_1 = 12 \text{ Вт}$, то $P_2 = 18 - 12 = 6 \text{ Вт}$.

Если $P_1 = 6 \text{ Вт}$, то $P_2 = 18 - 6 = 12 \text{ Вт}$.

В обоих случаях мы получаем, что мощности двух резисторов равны 6 Вт и 12 Вт.

Ответ: мощности резисторов при поочередном подключении равны 6 Вт и 12 Вт.