Номер 11.39, страница 67 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Молекулярная физика. 11. Законы термодинамики - номер 11.39, страница 67.

Условие.

11.39*. Газовая нагревательная колонка потребляет $V_0 = 1,2 \text{ м}^3 \text{ метана } (\text{CH}_4)$ в час. Найдите температуру $\text{t}$ подогретой воды, если вытекающая струя имеет скорость $v = 0,5 \text{ м/с}$. Диаметр струи $d = 1,0 \text{ см}$, начальная температура воды и газа $t_0 = 11 \text{ °С}$. КПД нагревателя $\eta = 0,6$.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Объем потребляемого метана, $V_0 = 1,2 \text{ м³}$ в час
Скорость вытекающей струи воды, $v = 0,5 \text{ м/с}$
Диаметр струи, $d = 1,0 \text{ см}$
Начальная температура воды и газа, $t_0 = 11 \text{ °C}$
КПД нагревателя, $\eta = 0,6$

Перевод в систему СИ:
$d = 1,0 \text{ см} = 0,01 \text{ м}$
Время, за которое потребляется объем $V_0$, $\tau = 1 \text{ час} = 3600 \text{ с}$

Найти:

Температуру подогретой воды, $\text{t}$.

Решение:

1. Определим количество теплоты, которое выделяется при сгорании метана. Для этого воспользуемся табличным значением удельной теплоты сгорания метана: $q = 3,9 \cdot 10^7 \text{ Дж/м³}$.
Полная мощность (теплота в секунду), выделяемая при сгорании газа, равна:$P_{полн} = \frac{q \cdot V_0}{\tau}$

2. Полезная мощность, которая идет непосредственно на нагрев воды, определяется с учетом КПД нагревателя:$P_{полезн} = \eta \cdot P_{полн} = \frac{\eta \cdot q \cdot V_0}{\tau}$

3. Эта мощность расходуется на нагрев воды, протекающей через колонку. Запишем уравнение теплового баланса для мощности:$P_{полезн} = \dot{m}_в \cdot c_в \cdot (t - t_0)$
где $c_в$ — удельная теплоемкость воды ($c_в \approx 4200 \ \mathrm{Дж/(кг\cdot °C)}$), а $\dot{m}_в$ — массовый расход воды (масса воды, протекающая в секунду).

4. Найдем массовый расход воды. Он связан с объемным расходом $\dot{V}_в$ и плотностью воды $\rho_в$ ($\rho_в \approx 1000 \text{ кг/м³}$):$\dot{m}_в = \rho_в \cdot \dot{V}_в$
Объемный расход равен произведению площади поперечного сечения струи $\text{S}$ на ее скорость $\text{v}$:$\dot{V}_в = S \cdot v = \frac{\pi d^2}{4} \cdot v$
Следовательно, массовый расход воды:$\dot{m}_в = \rho_в \cdot \frac{\pi d^2}{4} \cdot v$

5. Приравняем выражения для полезной мощности и выразим искомую температуру $\text{t}$:$\frac{\eta \cdot q \cdot V_0}{\tau} = \left(\rho_в \cdot \frac{\pi d^2}{4} \cdot v\right) \cdot c_в \cdot (t - t_0)$
$t - t_0 = \frac{4 \eta q V_0}{\pi d^2 v \tau \rho_в c_в}$
$t = t_0 + \frac{4 \eta q V_0}{\pi d^2 v \tau \rho_в c_в}$

6. Проведем вычисления. Сначала найдем полезную мощность:$P_{полезн} = \frac{0,6 \cdot 3,9 \cdot 10^7 \text{ Дж/м³} \cdot 1,2 \text{ м³}}{3600 \text{ с}} = 7800 \text{ Вт}$
Теперь найдем массовый расход воды:$\dot{m}_в = 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м³}} \cdot \frac{\pi \cdot (0,01 \text{ м})^2}{4} \cdot 0,5 \frac{\text{м}}{\text{с}} \approx 0,03927 \frac{\text{кг}}{\text{с}}$
Найдем изменение температуры воды $\Delta t = t - t_0$:$\Delta t = \frac{P_{полезн}}{\dot{m}_в \cdot c_в} = \frac{7800 \text{ Вт}}{0,03927 \frac{\text{кг}}{\text{с}} \cdot 4200 \frac{\text{Дж}}{\ \mathrm{кг\cdot °C}}} \approx \frac{7800}{164,934} \approx 47,3 \text{ °C}$
Конечная температура воды:$t = t_0 + \Delta t = 11 \text{ °C} + 47,3 \text{ °C} = 58,3 \text{ °C}$

Ответ: $t \approx 58,3 \text{ °C}$.