Номер 11.32, страница 66 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Молекулярная физика. 11. Законы термодинамики - номер 11.32, страница 66.

Условие.

11.32*. В длинной, расположенной горизонтально теплоизолированной трубе между двумя одинаковыми поршнями (массой $\text{m}$ каждый) находится $\nu = 1$ моль одноатомного газа при температуре $T_0$. В начальный момент поршни сближаются, причем скорости поршней направлены в одну сторону и равны $\text{3v}$ и $\text{v}$. До какой наибольшей температуры $\text{T}$ нагреется газ? Массой газа по сравнению с массой поршней можно пренебречь. Поршни тепло не проводят. Трение пренебрежимо мало. Атмосферное давление можно не учитывать.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Масса каждого поршня: $\text{m}$
Количество вещества одноатомного газа: $\nu = 1$ моль
Начальная температура газа: $T_0$
Начальная скорость первого поршня: $v_1 = 3v$
Начальная скорость второго поршня: $v_2 = v$
Система является замкнутой и теплоизолированной.

Найти:

Наибольшую температуру газа $\text{T}$.

Решение:
Рассмотрим систему, состоящую из двух поршней и газа между ними. Поскольку труба теплоизолирована, трение пренебрежимо мало и внешнее давление не учитывается, данная система является замкнутой. Это означает, что для нее выполняются законы сохранения импульса и полной энергии.
Массой газа можно пренебречь по сравнению с массой поршней, поэтому импульс и кинетическая энергия газа в общем балансе не учитываются. Полная энергия системы складывается из кинетической энергии поршней и внутренней энергии газа.
Наибольшая температура газа $\text{T}$ будет достигнута в момент его максимального сжатия. В этот момент поршни прекращают сближаться, что означает, что их скорости становятся одинаковыми. Обозначим эту скорость через $\text{u}$.
Запишем закон сохранения импульса для системы из двух поршней, направив ось координат в сторону их движения.Начальный импульс системы:
$P_{нач} = m v_1 + m v_2 = m(3v) + mv = 4mv$
Импульс системы в момент максимального сжатия:
$P_{кон} = mu + mu = 2mu$
Из закона сохранения импульса $P_{нач} = P_{кон}$:
$4mv = 2mu$
Отсюда находим скорость поршней в момент максимального сжатия:
$u = 2v$
Теперь применим закон сохранения энергии. Полная энергия системы сохраняется.
Начальная энергия системы $E_{нач}$ — это сумма начальной кинетической энергии поршней $K_{нач}$ и начальной внутренней энергии газа $U_{нач}$.
$K_{нач} = \frac{1}{2}m v_1^2 + \frac{1}{2}m v_2^2 = \frac{1}{2}m(3v)^2 + \frac{1}{2}m v^2 = \frac{1}{2}m(9v^2 + v^2) = 5mv^2$
Внутренняя энергия одноатомного газа определяется как $U = \frac{3}{2}\nu R T$. Начальная внутренняя энергия:
$U_{нач} = \frac{3}{2}\nu R T_0$
Таким образом, полная начальная энергия:
$E_{нач} = 5mv^2 + \frac{3}{2}\nu R T_0$
Конечная энергия системы $E_{кон}$ в момент максимального сжатия — это сумма конечной кинетической энергии поршней $K_{кон}$ и конечной внутренней энергии газа $U_{кон}$ при температуре $\text{T}$.
$K_{кон} = \frac{1}{2}mu^2 + \frac{1}{2}mu^2 = mu^2 = m(2v)^2 = 4mv^2$
Конечная внутренняя энергия газа:
$U_{кон} = \frac{3}{2}\nu R T$
Таким образом, полная конечная энергия:
$E_{кон} = 4mv^2 + \frac{3}{2}\nu R T$
Из закона сохранения энергии $E_{нач} = E_{кон}$:
$5mv^2 + \frac{3}{2}\nu R T_0 = 4mv^2 + \frac{3}{2}\nu R T$
Выразим из этого уравнения температуру $\text{T}$:
$5mv^2 - 4mv^2 = \frac{3}{2}\nu R T - \frac{3}{2}\nu R T_0$
$mv^2 = \frac{3}{2}\nu R (T - T_0)$
$T - T_0 = \frac{2mv^2}{3\nu R}$
$T = T_0 + \frac{2mv^2}{3\nu R}$
Подставим значение $\nu = 1$ моль, данное в условии задачи:
$T = T_0 + \frac{2mv^2}{3R}$

Ответ: Наибольшая температура, до которой нагреется газ, равна $T = T_0 + \frac{2mv^2}{3R}$.