Номер 11.26, страница 65 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Молекулярная физика. 11. Законы термодинамики - номер 11.26, страница 65.

Условие.

11.26*. На рисунке изображены два замкнутых процесса, происходящих с идеальным газом: 1-2-3-1 и 3-2-4-3. В каком из них газ совершает большую работу?

Решение.

Решение 2.

Для определения, в каком из двух замкнутых процессов газ совершает большую работу, необходимо проанализировать каждый процесс и сравнить величины работ.

Работа, совершаемая газом в замкнутом цикле, численно равна площади фигуры, ограниченной графиком цикла в координатах давление-объем (p-V). Направление обхода цикла определяет знак работы: если цикл обходится по часовой стрелке, работа газа положительна ($A>0$), если против часовой стрелки — отрицательна ($A<0$).

Сначала проанализируем процессы, изображенные на V-T диаграмме:

• 1-2: График представляет собой прямую, проходящую через начало координат, что соответствует соотношению $V/T = const$. Из уравнения состояния идеального газа $pV = \nu RT$ следует, что $V/T = \nu R / p$. Так как $\nu$ и $\text{R}$ — константы, то давление $\text{p}$ в этом процессе постоянно ($p=const$). Это изобарный процесс. Поскольку объем и температура увеличиваются, это изобарное расширение.
• 2-3: График представляет собой вертикальную линию, что означает $T=const$. Это изотермический процесс. Объем газа увеличивается от $V_2$ до $V_3$, следовательно, это изотермическое расширение.
• 3-4: График представляет собой горизонтальную линию, что означает $V=const$. Это изохорный процесс. Температура увеличивается от $T_3$ до $T_4$.
• Процессы 3-1 и 2-4 являются процессами с линейной зависимостью объема от температуры.

Теперь рассмотрим каждый цикл в координатах p-V, чтобы определить знак и сравнить величину работы.

Цикл 1-2-3-1

1. 1→2: Изобарное расширение ($p=p_1=const$, V растет). Газ совершает положительную работу. На p-V диаграмме это горизонтальный отрезок вправо.
2. 2→3: Изотермическое расширение ($T=T_2=const$, V растет). Давление падает по гиперболическому закону $p = \nu R T_2 / V$. Газ совершает положительную работу.
3. 3→1: Сжатие (объем уменьшается). Газ совершает отрицательную работу (или над ним совершают работу).

На p-V диаграмме цикл 1-2-3-1 обходится по часовой стрелке. Следовательно, полная работа газа за этот цикл положительна: $A_{1231} > 0$.

Цикл 3-2-4-3

1. 3→2: Изотермическое сжатие ($T=T_3=T_2=const$, V уменьшается). Газ совершает отрицательную работу.
2. 2→4: Расширение (объем и температура растут). Давление изменяется по закону $p(V) = \nu R T(V) / V$. Газ совершает положительную работу.
3. 4→3: Изохорное охлаждение ($V=V_4=V_3=const$, T падает). Работа газа равна нулю.

Чтобы определить знак работы, сравним давление на участке расширения (2→4) и сжатия (3→2). Для любого объема $\text{V}$ в интервале $(V_2, V_3)$, температура на участке 2→4 ($T_{24}(V)$) выше, чем на участке 3→2 ($T_{32}(V) = T_2$). Поскольку $p = \nu R T / V$, давление на участке расширения 2→4 выше, чем на участке сжатия 3→2. Это означает, что на p-V диаграмме цикл 3-2-4-3 обходится по часовой стрелке, и работа газа за этот цикл положительна: $A_{3243} > 0$.

Сравнение работ $A_{1231}$ и $A_{3243}$

Работа, совершаемая газом, $A = \oint p dV$. Для сравнения работ необходимо сравнить средние давления и изменения объемов в циклах.

Из V-T диаграммы видно, что цикл 3-2-4-3 происходит при более высоких температурах, чем цикл 1-2-3-1 (диапазон температур для первого цикла $[T_1, T_2]$, для второго $[T_2, T_4]$, где $T_1 < T_2 < T_4$).

Так как давление пропорционально температуре ($p = \nu R T/V$), цикл 3-2-4-3 в целом протекает при более высоких давлениях, чем цикл 1-2-3-1.

Рассмотрим давление в характерных точках. Давление в процессе 1-2 постоянно и равно $p_1$. В процессе 2-4 давление растет. Так как $V/T$ вдоль прямой 2-4 уменьшается с ростом T (прямая, продолженная влево, пересекает ось V выше нуля), а $p = \nu R / (V/T)$, то давление вдоль 2-4 растет. Таким образом, давление на участке расширения 2-4 всегда больше, чем давление на участке расширения 1-2.

Хотя диапазон изменения объема в первом цикле ($V_3 - V_1$) больше, чем во втором ($V_3 - V_2$), значительно более высокое давление во втором цикле приводит к совершению большей работы. Процессы во втором цикле происходят в области более высоких энергий (температур), что позволяет получить большую работу при аналогичных изменениях объема.

Следовательно, работа, совершаемая газом в цикле 3-2-4-3, больше, чем в цикле 1-2-3-1.

Ответ: Газ совершает большую работу в процессе 3-2-4-3.