Номер 11.31, страница 66 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Молекулярная физика. 11. Законы термодинамики - номер 11.31, страница 66.

Условие.

11.31**. Какое количество теплоты получает одноатомный газ при нагревании в ходе процесса, изображенного на рисунке? Получает или отдает тепло газ при охлаждении? Чему равно это количество теплоты?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Одноатомный газ

Процесс 1-2 на p-V диаграмме:

Состояние 1: $p_1 = 2p_0$, $V_1 = V_0$

Состояние 2: $p_2 = p_0$, $V_2 = 2V_0$

(Все данные представлены в условных единицах, перевод в СИ не требуется)

Найти:

1. Количество теплоты $Q_{нагр}$, полученное газом при нагревании.

2. Определить, получает или отдает тепло газ при охлаждении, и найти это количество теплоты $Q_{охл}$.

Решение:

Процесс, изображенный на графике, представляет собой прямую линию на p-V диаграмме. Уравнение этой прямой, проходящей через точки $(V_1, p_1) = (V_0, 2p_0)$ и $(V_2, p_2) = (2V_0, p_0)$, можно записать как:

$p(V) = k V + b$.

Найдем коэффициенты. Угловой коэффициент $k = \frac{p_2 - p_1}{V_2 - V_1} = \frac{p_0 - 2p_0}{2V_0 - V_0} = -\frac{p_0}{V_0}$.

Подставив точку 1 в уравнение $p = -\frac{p_0}{V_0}V + b$, получим $2p_0 = -\frac{p_0}{V_0}V_0 + b$, откуда $b = 3p_0$.

Таким образом, зависимость давления от объема: $p(V) = 3p_0 - \frac{p_0}{V_0}V$.

Для определения участков нагревания и охлаждения проанализируем температуру газа. Согласно уравнению состояния идеального газа $pV = \nu RT$, температура $\text{T}$ пропорциональна произведению $\text{pV}$.

$pV(V) = (3p_0 - \frac{p_0}{V_0}V)V = 3p_0V - \frac{p_0}{V_0}V^2$

Это параболическая зависимость. Найдем точку максимума температуры, взяв производную от $\text{pV}$ по $\text{V}$ и приравняв ее к нулю:

$\frac{d(pV)}{dV} = 3p_0 - 2\frac{p_0}{V_0}V = 0$

Отсюда находим объем $V_m$, при котором температура максимальна:

$V_m = \frac{3}{2}V_0 = 1.5V_0$

Поскольку $V_1 = V_0 < V_m < V_2 = 2V_0$, то на участке от $V_1$ до $V_m$ газ нагревается, а на участке от $V_m$ до $V_2$ — охлаждается. Найдем давление в точке максимальной температуры (обозначим ее "m"):

$p_m = 3p_0 - \frac{p_0}{V_0}V_m = 3p_0 - \frac{p_0}{V_0}(\frac{3}{2}V_0) = \frac{3}{2}p_0 = 1.5p_0$

Вычислим значения $\text{pV}$ в начальной, конечной и промежуточной точках:

$p_1V_1 = (2p_0)V_0 = 2p_0V_0$

$p_mV_m = (1.5p_0)(1.5V_0) = 2.25p_0V_0$

$p_2V_2 = p_0(2V_0) = 2p_0V_0$

Видно, что температура в начале и в конце процесса одинакова, а в середине достигает максимума.

Количество теплоты получает одноатомный газ при нагревании

Нагревание происходит на участке 1 → m. Количество теплоты найдем по первому закону термодинамики: $Q = \Delta U + A$.

Изменение внутренней энергии для одноатомного газа: $\Delta U = \frac{3}{2}\Delta(pV)$.

$\Delta U_{1 \to m} = \frac{3}{2}(p_mV_m - p_1V_1) = \frac{3}{2}(2.25p_0V_0 - 2p_0V_0) = \frac{3}{2}(0.25p_0V_0) = \frac{3}{8}p_0V_0$

Работа газа $A_{1 \to m}$ равна площади под графиком на этом участке (площадь трапеции):

$A_{1 \to m} = \frac{p_1 + p_m}{2}(V_m - V_1) = \frac{2p_0 + 1.5p_0}{2}(1.5V_0 - V_0) = \frac{3.5p_0}{2}(0.5V_0) = \frac{7}{8}p_0V_0$

Количество теплоты, полученное при нагревании:

$Q_{нагр} = Q_{1 \to m} = \Delta U_{1 \to m} + A_{1 \to m} = \frac{3}{8}p_0V_0 + \frac{7}{8}p_0V_0 = \frac{10}{8}p_0V_0 = \frac{5}{4}p_0V_0$

Ответ: При нагревании газ получает количество теплоты, равное $\frac{5}{4}p_0V_0$.

Получает или отдает тепло газ при охлаждении и чему равно это количество теплоты

Охлаждение происходит на участке m → 2. Найдем количество теплоты для этого участка.

Изменение внутренней энергии:

$\Delta U_{m \to 2} = \frac{3}{2}(p_2V_2 - p_mV_m) = \frac{3}{2}(2p_0V_0 - 2.25p_0V_0) = \frac{3}{2}(-0.25p_0V_0) = -\frac{3}{8}p_0V_0$

Внутренняя энергия уменьшается, что соответствует охлаждению.

Работа газа $A_{m \to 2}$:

$A_{m \to 2} = \frac{p_m + p_2}{2}(V_2 - V_m) = \frac{1.5p_0 + p_0}{2}(2V_0 - 1.5V_0) = \frac{2.5p_0}{2}(0.5V_0) = \frac{5}{8}p_0V_0$

Количество теплоты на участке охлаждения:

$Q_{охл} = Q_{m \to 2} = \Delta U_{m \to 2} + A_{m \to 2} = -\frac{3}{8}p_0V_0 + \frac{5}{8}p_0V_0 = \frac{2}{8}p_0V_0 = \frac{1}{4}p_0V_0$

Поскольку $Q_{охл} > 0$, газ получает тепло даже в процессе охлаждения. Это возможно, так как газ расширяется и совершает работу, которая по абсолютной величине превышает убыль его внутренней энергии.

Ответ: При охлаждении газ получает (а не отдает) тепло. Это количество теплоты равно $\frac{1}{4}p_0V_0$.