Номер 11.37, страница 66 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Молекулярная физика. 11. Законы термодинамики - номер 11.37, страница 66.

Условие.

11.37**. Отопление помещения с помощью электронагревательных приборов весьма эффективно: вся потребляемая электроэнергия превращается во внутреннюю и передается воздуху в помещении, т. е. $КПД = 100\%$. Однако существует нагреватель и с большим (!) КПД — так называемый «тепловой насос», который отбирает энергию для обогрева комнаты у наружного воздуха*). Чему равен КПД теплового насоса, работающего по циклу Карно, если температура воздуха в помещении равна $\text{T}$, а на улице $T'$?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Температура воздуха в помещении (нагреватель): $\text{T}$

Температура воздуха на улице (холодильник): $T'$

Тепловой насос работает по идеальному обратному циклу Карно.

Найти:

КПД теплового насоса $\eta$.

Решение:

В контексте теплового насоса, используемого для отопления, под КПД (коэффициентом полезного действия) понимают отопительный коэффициент. Он определяется как отношение количества теплоты $Q_H$, переданного нагреваемому телу (воздуху в помещении), к работе $\text{A}$, затраченной на этот процесс.

$\eta = \frac{Q_H}{A}$

Тепловой насос представляет собой тепловую машину, работающую в обратном направлении. Он забирает количество теплоты $Q_X$ у холодного резервуара (улицы с температурой $T'$) и, за счет совершения над ним работы $\text{A}$ (потребления электроэнергии), передает количество теплоты $Q_H$ горячему резервуару (помещению с температурой $\text{T}$).

Согласно первому началу термодинамики, для рабочего тела насоса за один цикл изменение внутренней энергии равно нулю, поэтому количество теплоты, отданное нагревателю, равно сумме работы и теплоты, полученной от холодильника:

$Q_H = Q_X + A$

Из этого соотношения можно выразить работу, совершаемую насосом:

$A = Q_H - Q_X$

Теперь подставим это выражение для работы в формулу для КПД:

$\eta = \frac{Q_H}{Q_H - Q_X}$

Для идеального теплового насоса, работающего по обратному циклу Карно, отношение количества теплоты, отданной нагревателю, к количеству теплоты, полученной от холодильника, равно отношению их абсолютных температур:

$\frac{Q_H}{Q_X} = \frac{T}{T'}$

Из этого соотношения можно выразить $Q_X$ через $Q_H$:

$Q_X = Q_H \frac{T'}{T}$

Подставим полученное выражение для $Q_X$ в формулу для $\eta$:

$\eta = \frac{Q_H}{Q_H - Q_H \frac{T'}{T}} = \frac{Q_H}{Q_H (1 - \frac{T'}{T})} = \frac{1}{1 - \frac{T'}{T}}$

Преобразуем полученную дробь:

$\eta = \frac{1}{\frac{T - T'}{T}} = \frac{T}{T - T'}$

Поскольку для отопления температура в помещении $\text{T}$ всегда выше, чем на улице $T'$, то знаменатель $T - T'$ будет положительным, а сам КПД будет больше единицы ($\eta > 1$). Это означает, что количество теплоты, переданное в помещение, больше, чем затраченная на это работа, что и объясняет высокую эффективность тепловых насосов.

Ответ: КПД теплового насоса равен $\eta = \frac{T}{T - T'}$.