Номер 11.40, страница 67 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Молекулярная физика. 11. Законы термодинамики - номер 11.40, страница 67.

Условие.

11.40** На рисунке показан цикл из двух изохор и двух изобар. Найдите КПД цикла, если рабочее тело — одно- атомный идеальный газ.

К задаче 11.40

Решение.

Решение 2.

Дано:

Циклический процесс 1-2-3-4, показанный на $p-V$ диаграмме.

Рабочее тело – одноатомный идеальный газ.

Параметры состояний в узловых точках цикла:

$p_1 = p_0, V_1 = V_0$

$p_2 = 2p_0, V_2 = V_0$

$p_3 = 2p_0, V_3 = 3V_0$

$p_4 = p_0, V_4 = 3V_0$

Найти:

КПД цикла $\eta$.

Решение:

Коэффициент полезного действия (КПД) теплового двигателя определяется как отношение полезной работы $A_{полезная}$, совершённой газом за цикл, к количеству теплоты $Q_{нагревателя}$, полученному газом от нагревателя:

$\eta = \frac{A_{полезная}}{Q_{нагревателя}}$

Полезная работа, совершаемая газом за цикл, численно равна площади фигуры, ограниченной графиком цикла в координатах $p-V$. В данном случае цикл представляет собой прямоугольник. Его площадь равна:

$A_{полезная} = (p_2 - p_1) \cdot (V_3 - V_2) = (2p_0 - p_0) \cdot (3V_0 - V_0) = p_0 \cdot 2V_0 = 2p_0V_0$.

Количество теплоты $Q_{нагревателя}$ газ получает на тех участках цикла, где его температура повышается. Это происходит на участке изохорного нагрева 1-2 и на участке изобарного расширения 2-3. Таким образом, полное количество подведенной теплоты равно сумме теплот на этих участках:

$Q_{нагревателя} = Q_{12} + Q_{23}$.

Рассчитаем количество теплоты для каждого из этих процессов. Внутренняя энергия одноатомного идеального газа определяется формулой $U = \frac{3}{2}pV$.

На участке 1-2 происходит изохорный нагрев ($V = \text{const}$). Работа газа на этом участке равна нулю ($A_{12} = 0$). Согласно первому закону термодинамики, вся подведенная теплота идет на изменение внутренней энергии:

$Q_{12} = \Delta U_{12} = U_2 - U_1 = \frac{3}{2}(p_2V_2 - p_1V_1) = \frac{3}{2}(2p_0V_0 - p_0V_0) = \frac{3}{2}p_0V_0$.

На участке 2-3 происходит изобарное расширение ($p = \text{const}$). Количество теплоты для изобарного процесса с одноатомным идеальным газом можно рассчитать по формуле $Q = \frac{5}{2}p\Delta V$:

$Q_{23} = \frac{5}{2}p_2(V_3 - V_2) = \frac{5}{2}(2p_0)(3V_0 - V_0) = 5p_0(2V_0) = 10p_0V_0$.

Теперь найдем общее количество теплоты, полученное от нагревателя:

$Q_{нагревателя} = Q_{12} + Q_{23} = \frac{3}{2}p_0V_0 + 10p_0V_0 = \frac{3p_0V_0 + 20p_0V_0}{2} = \frac{23}{2}p_0V_0$.

Наконец, вычислим КПД цикла, подставив найденные значения работы и теплоты в исходную формулу:

$\eta = \frac{A_{полезная}}{Q_{нагревателя}} = \frac{2p_0V_0}{\frac{23}{2}p_0V_0} = \frac{2 \cdot 2}{23} = \frac{4}{23}$.

Ответ:

КПД цикла равен $\frac{4}{23}$.