Номер 12.5, страница 68 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 12. Электростатика - номер 12.5, страница 68.

Условие.

12.5**. Может ли точечный заряд находиться в состоянии устойчивого равновесия под действием только кулоновских сил?

Решение.

Решение 2.

Решение

Нет, точечный заряд не может находиться в состоянии устойчивого равновесия под действием только кулоновских (электростатических) сил. Этот вывод известен как теорема Ирншоу.

Рассмотрим, почему это так. Состояние устойчивого равновесия характеризуется тем, что при малом смещении тела из положения равновесия возникает возвращающая сила, стремящаяся вернуть тело обратно. С точки зрения энергии, положение устойчивого равновесия соответствует точке локального минимума потенциальной энергии.

Пусть у нас есть система неподвижных точечных зарядов $Q_1, Q_2, ..., Q_n$, создающих электростатическое поле. В это поле мы помещаем пробный точечный заряд $\text{q}$. Потенциальная энергия $\text{U}$ заряда $\text{q}$ в точке с электрическим потенциалом $\phi$ равна:

$U = q\phi$

Для того чтобы положение заряда $\text{q}$ было точкой устойчивого равновесия, необходимо, чтобы в этой точке был минимум потенциальной энергии $\text{U}$. Если заряд $\text{q}$ положителен ($q > 0$), то для минимума $\text{U}$ необходим минимум потенциала $\phi$. Если же заряд $\text{q}$ отрицателен ($q < 0$), то для минимума $\text{U}$ необходим максимум потенциала $\phi$.

Однако в электростатике, в области пространства, свободной от зарядов, потенциал $\phi$ удовлетворяет уравнению Лапласа: $\Delta\phi = 0$. Одним из фундаментальных свойств решений уравнения Лапласа является то, что они не могут иметь локальных минимумов или максимумов внутри рассматриваемой области. Все экстремумы (минимумы и максимумы) потенциала могут достигаться только на границах области или в точках, где расположены сами источники поля (заряды).

Таким образом, в точке, где нет других зарядов (кроме нашего пробного заряда $\text{q}$), потенциал $\phi$, создаваемый остальными зарядами, не может иметь ни минимума, ни максимума. Следовательно, и потенциальная энергия $\text{U}$ заряда $\text{q}$ не может иметь в этой точке минимума.

Можно привести и более наглядное рассуждение, основанное на теореме Гаусса.

Предположим, что существует точка устойчивого равновесия для положительного заряда $\text{q}$. Это означает, что если мы окружим эту точку небольшой воображаемой сферой, то в любой точке на поверхности этой сферы вектор напряженности электрического поля $\vec{E}$, создаваемого всеми остальными зарядами, должен быть направлен внутрь сферы (чтобы создавать возвращающую силу).

Тогда поток вектора напряженности через эту сферическую поверхность будет отрицательным: $\oint_S \vec{E} \cdot d\vec{A} < 0$.

Однако, согласно теореме Гаусса, поток вектора напряженности через замкнутую поверхность пропорционален полному заряду $Q_{вн}$, находящемуся внутри этой поверхности:

$\oint_S \vec{E} \cdot d\vec{A} = \frac{Q_{вн}}{\varepsilon_0}$

Из отрицательности потока следует, что внутри сферы должен находиться отрицательный заряд ($Q_{вн} < 0$). Но мы предположили, что в рассматриваемой точке (центре сферы) нет никаких других зарядов, кроме помещенного туда пробного заряда $\text{q}$. Это приводит к противоречию.

Аналогичное рассуждение для отрицательного пробного заряда $\text{q}$ приведет к выводу о необходимости наличия положительного заряда в точке равновесия, что также противоречит условию.

Таким образом, равновесие под действием только кулоновских сил может быть только неустойчивым (как, например, в седловой точке потенциала).

Ответ:

Нет, точечный заряд не может находиться в состоянии устойчивого равновесия, находясь под действием только электростатических (кулоновских) сил со стороны системы неподвижных точечных зарядов. Это следует из теоремы Ирншоу, которая утверждает, что потенциал электростатического поля не может иметь локальных минимумов или максимумов в областях, свободных от заряда.