Номер 12.9, страница 68 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 12. Электростатика - номер 12.9, страница 68.

Условие.

12.9. В вершинах квадрата находятся четыре одинаковых одноименных заряда $\text{q}$. Какой заряд $\text{Q}$ нужно поместить в центр квадрата, чтобы система находилась в равновесии?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Четыре одинаковых одноименных заряда $\text{q}$, расположенных в вершинах квадрата.

Заряд $\text{Q}$, помещенный в центр квадрата.

Система зарядов находится в равновесии.

Найти:

Величину и знак заряда $\text{Q}$.

Решение:

Условие равновесия системы зарядов заключается в том, что векторная сумма всех сил, действующих на каждый из зарядов, должна быть равна нулю.

В силу симметрии задачи, заряд $\text{Q}$, помещенный в центр квадрата, уже находится в равновесии, так как силы, действующие на него со стороны четырех одинаковых зарядов $\text{q}$, расположенных на одинаковом расстоянии, попарно компенсируют друг друга. Поэтому для нахождения $\text{Q}$ достаточно рассмотреть условие равновесия для любого из зарядов $\text{q}$, находящегося в вершине квадрата.

Выберем один из зарядов $\text{q}$ и рассмотрим действующие на него силы. Пусть сторона квадрата равна $\text{a}$.

На выбранный заряд действуют:

1. Силы отталкивания со стороны двух соседних зарядов $\text{q}$. Расстояние до каждого из них равно $\text{a}$. По закону Кулона, модуль каждой из этих сил равен $F_1 = k \frac{q^2}{a^2}$. Эти две силы направлены вдоль сторон квадрата и перпендикулярны друг другу. Их результирующая сила $F_{12}$ направлена по диагонали квадрата от его центра. Модуль этой силы найдем по теореме Пифагора:$F_{12} = \sqrt{F_1^2 + F_1^2} = F_1\sqrt{2} = k \frac{q^2\sqrt{2}}{a^2}$.

2. Сила отталкивания со стороны диагонально противоположного заряда $\text{q}$. Расстояние до него равно диагонали квадрата, $d = a\sqrt{2}$. Эта сила $F_3$ также направлена по диагонали от центра квадрата. Ее модуль равен:$F_3 = k \frac{q^2}{(a\sqrt{2})^2} = k \frac{q^2}{2a^2}$.

3. Сила со стороны центрального заряда $\text{Q}$. Поскольку все заряды $\text{q}$ одноименные, суммарная сила отталкивания от других трех зарядов ($F_{12} + F_3$) направлена от центра квадрата. Чтобы уравновесить эту силу, заряд $\text{Q}$ должен притягивать заряд $\text{q}$, а значит, знак заряда $\text{Q}$ должен быть противоположен знаку заряда $\text{q}$. Сила $F_Q$ будет направлена к центру квадрата по той же диагонали. Расстояние от центра квадрата до вершины равно половине диагонали, $r = \frac{a\sqrt{2}}{2}$. Модуль силы $F_Q$ равен:$F_Q = k \frac{|qQ|}{r^2} = k \frac{|qQ|}{(a\sqrt{2}/2)^2} = k \frac{|qQ|}{a^2/2} = 2k \frac{|qQ|}{a^2}$.

Для равновесия заряда $\text{q}$ необходимо, чтобы суммарная сила отталкивания была равна по модулю силе притяжения:

$F_{12} + F_3 = F_Q$

$k \frac{q^2\sqrt{2}}{a^2} + k \frac{q^2}{2a^2} = 2k \frac{|qQ|}{a^2}$

Сократим обе части уравнения на $k/a^2$:

$q^2\sqrt{2} + \frac{q^2}{2} = 2|qQ|$

Вынесем $q^2$ за скобки:

$q^2(\sqrt{2} + \frac{1}{2}) = 2|qQ|$

Разделим на $2|q|$ (считая $q \neq 0$):

$|Q| = \frac{|q|}{2}(\sqrt{2} + \frac{1}{2}) = |q|(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{4})$

Приводя к общему знаменателю, получаем:

$|Q| = |q|\frac{2\sqrt{2} + 1}{4}$

Как мы установили ранее, знак заряда $\text{Q}$ должен быть противоположен знаку $\text{q}$.

Ответ: $Q = -q \frac{1+2\sqrt{2}}{4}$.