Номер 12.11, страница 69 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 12. Электростатика - номер 12.11, страница 69.

Условие.

12.11*. Можно ли создать электростатическое поле, линии напряженности которого имеют вид, показанный на рисунке?

К задаче 12.11

Решение.

Решение 2.

Решение:

На рисунке изображены силовые линии электрического поля. Проанализируем свойства этого поля, исходя из вида его силовых линий.
Во-первых, силовые линии параллельны. Это означает, что вектор напряженности электрического поля $\vec{E}$ во всех точках имеет одинаковое направление. Направим ось Ox вдоль этих линий.
Во-вторых, густота силовых линий, которая пропорциональна модулю напряженности поля $\text{E}$, не является постоянной. В нижней части рисунка линии расположены гуще, чем в верхней. Это означает, что модуль напряженности поля зависит от координаты, перпендикулярной линиям (например, от координаты y): $E = E(y)$. Конкретно, с увеличением координаты y (при движении снизу вверх) напряженность поля $\text{E}$ уменьшается.

По определению, электростатическое поле создается системой неподвижных электрических зарядов. Такое поле является потенциальным (консервативным). Основное свойство потенциального поля заключается в том, что работа сил поля при перемещении заряда по любому замкнутому контуру равна нулю. Математически это свойство выражается как равенство нулю циркуляции вектора напряженности $\vec{E}$ по любому замкнутому контуру $\text{L}$:
$\oint_L \vec{E} \cdot d\vec{l} = 0$

Проверим, выполняется ли это условие для поля, изображенного на рисунке. Для этого выберем в плоскости рисунка прямоугольный замкнутый контур ABCDA. Пусть его стороны AB и CD параллельны силовым линиям и имеют длину $\Delta x$, а стороны BC и DA перпендикулярны им. Пусть сторона AB находится на высоте $y_1$, а сторона CD — на высоте $y_2$, причем $y_2 > y_1$.

Вычислим циркуляцию вектора $\vec{E}$ по этому контуру, которая представляет собой сумму интегралов по четырем сторонам:
$\oint \vec{E} \cdot d\vec{l} = \int_{A}^{B} \vec{E} \cdot d\vec{l} + \int_{B}^{C} \vec{E} \cdot d\vec{l} + \int_{C}^{D} \vec{E} \cdot d\vec{l} + \int_{D}^{A} \vec{E} \cdot d\vec{l}$

- На участках BC и DA вектор напряженности $\vec{E}$ перпендикулярен вектору перемещения $d\vec{l}$, поэтому скалярное произведение $\vec{E} \cdot d\vec{l} = 0$. Интегралы по этим сторонам равны нулю.
- На участке AB, расположенном на высоте $y_1$, модуль напряженности постоянен и равен $E(y_1)$. Интеграл равен $E(y_1) \cdot \Delta x$.
- На участке CD, расположенном на высоте $y_2$, модуль напряженности равен $E(y_2)$. Движение происходит в направлении, противоположном вектору $\vec{E}$, поэтому интеграл равен $-E(y_2) \cdot \Delta x$.

Полная циркуляция по замкнутому контуру ABCDA составляет:
$\oint \vec{E} \cdot d\vec{l} = E(y_1) \cdot \Delta x + 0 - E(y_2) \cdot \Delta x + 0 = (E(y_1) - E(y_2)) \cdot \Delta x$

Из рисунка следует, что густота линий на высоте $y_1$ (нижняя сторона) больше, чем на высоте $y_2$ (верхняя сторона), следовательно, $E(y_1) > E(y_2)$. Поскольку разность $(E(y_1) - E(y_2))$ не равна нулю, и мы выбрали контур с ненулевой длиной $\Delta x \neq 0$, то циркуляция по этому контуру не равна нулю:
$\oint \vec{E} \cdot d\vec{l} \neq 0$

Так как циркуляция вектора напряженности данного поля по замкнутому контуру отлична от нуля, это поле не является потенциальным. Следовательно, оно не может быть электростатическим. Такое электрическое поле называется вихревым и может быть создано, например, переменным во времени магнитным полем в соответствии с законом электромагнитной индукции Фарадея.

Ответ: Нет, создать такое электростатическое поле нельзя. Электростатическое поле является потенциальным, для него циркуляция вектора напряженности по любому замкнутому контуру должна быть равна нулю. Для поля, показанного на рисунке, это условие не выполняется, так как из-за разной густоты силовых линий циркуляция по прямоугольному контуру будет отлична от нуля.