Номер 12.17, страница 70 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 12. Электростатика - номер 12.17, страница 70.

Условие.

12.17*. Два одинаковых одноименно заряженных шарика, подвешенных в одной точке на нитях равной длины, опускают в керосин. При этом угол расхождения нитей не изменяется. Какова плотность $ \rho $ материала шариков?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Среда 1: воздух, диэлектрическая проницаемость $\varepsilon_1 \approx 1$.

Среда 2: керосин, диэлектрическая проницаемость $\varepsilon_2 = \varepsilon$.

Угол расхождения нитей в воздухе и в керосине одинаков: $\alpha_1 = \alpha_2$.

Для решения задачи потребуются справочные данные для керосина:

Плотность керосина: $\rho_к = 800 \text{ кг/м}^3$.

Диэлектрическая проницаемость керосина: $\varepsilon = 2,0$.

Ускорение свободного падения: $g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$.

Найти:

Плотность материала шариков $\rho$.

Решение:

Рассмотрим силы, действующие на один из шариков, находящийся в равновесии, в двух случаях.

1. Шарики находятся в воздухе. На каждый шарик действуют три силы: сила тяжести $F_g$, сила натяжения нити $T_1$ и сила кулоновского отталкивания $F_{e1}$. Пусть $2\alpha$ - угол расхождения нитей, тогда угол отклонения каждой нити от вертикали равен $\alpha$. В проекциях на горизонтальную и вертикальную оси условия равновесия имеют вид:

$T_1 \sin \alpha = F_{e1}$

$T_1 \cos \alpha = F_g$

Разделив первое уравнение на второе, получим:

$\tan \alpha = \frac{F_{e1}}{F_g}$

Силу тяжести можно выразить через плотность материала шарика $\rho$ и его объем $\text{V}$: $F_g = mg = \rho V g$. Тогда условие равновесия в воздухе:

$\tan \alpha = \frac{F_{e1}}{\rho V g}$ (1)

2. Шарики опускают в керосин. Теперь на каждый шарик действуют четыре силы: сила тяжести $F_g$, сила натяжения нити $T_2$, выталкивающая сила Архимеда $F_A$ и сила кулоновского отталкивания в керосине $F_{e2}$. Угол расхождения, по условию, не изменился. Условия равновесия в проекциях на оси:

$T_2 \sin \alpha = F_{e2}$

$T_2 \cos \alpha + F_A = F_g \implies T_2 \cos \alpha = F_g - F_A$

Разделив первое уравнение на второе, получим:

$\tan \alpha = \frac{F_{e2}}{F_g - F_A}$

Сила Архимеда равна $F_A = \rho_к V g$, где $\rho_к$ - плотность керосина. Сила кулоновского взаимодействия в диэлектрике ослабляется в $\varepsilon$ раз по сравнению с вакуумом (воздухом): $F_{e2} = \frac{F_{e1}}{\varepsilon}$. Подставим эти выражения:

$\tan \alpha = \frac{F_{e1}/\varepsilon}{(\rho V g - \rho_к V g)} = \frac{F_{e1}}{\varepsilon (\rho - \rho_к) V g}$ (2)

Поскольку угол $\alpha$ в обоих случаях одинаков, мы можем приравнять правые части уравнений (1) и (2):

$\frac{F_{e1}}{\rho V g} = \frac{F_{e1}}{\varepsilon (\rho - \rho_к) V g}$

Сократим общие множители $F_{e1}$, $\text{V}$ и $\text{g}$ в обеих частях уравнения:

$\frac{1}{\rho} = \frac{1}{\varepsilon (\rho - \rho_к)}$

Отсюда следует, что знаменатели равны:

$\rho = \varepsilon (\rho - \rho_к)$

$\rho = \varepsilon \rho - \varepsilon \rho_к$

$\varepsilon \rho_к = \varepsilon \rho - \rho = \rho(\varepsilon - 1)$

Выразим искомую плотность $\rho$ материала шариков:

$\rho = \frac{\varepsilon \rho_к}{\varepsilon - 1}$

Подставим числовые значения для керосина:

$\rho = \frac{2 \cdot 800 \text{ кг/м}^3}{2 - 1} = \frac{1600}{1} \text{ кг/м}^3 = 1600 \text{ кг/м}^3$

Ответ: Плотность материала шариков равна $1600 \text{ кг/м}^3$.