Номер 12.23, страница 70 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 12. Электростатика - номер 12.23, страница 70.

Условие.

12.23**. Четыре шарика, имеющие одинаковые заряды $\text{q}$, расположены вдоль одной прямой так, что расстояние между соседними шариками равно $\text{a}$. Какую работу $\text{A}$ нужно совершить, чтобы разместить эти шарики:

а) в вершинах квадрата со стороной $\text{a}$;

б) в вершинах тетраэдра с ребром $\text{a}$?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Количество шариков: $n = 4$.

Заряд каждого шарика: $\text{q}$.

Начальное расположение: вдоль одной прямой.

Расстояние между соседними шариками в начальном положении: $\text{a}$.

Конечное расположение (а): вершины квадрата со стороной $\text{a}$.

Конечное расположение (б): вершины тетраэдра с ребром $\text{a}$.

Электрическая постоянная: $\epsilon_0$.

Найти:

$A_a$ – работа для перемещения шариков в вершины квадрата.

$A_b$ – работа для перемещения шариков в вершины тетраэдра.

Решение:

Работа, совершаемая внешними силами при перемещении зарядов из начального положения в конечное, равна изменению потенциальной энергии системы этих зарядов:

$A = W_{конечная} - W_{начальная}$

Потенциальная энергия системы из $\text{N}$ точечных зарядов $q_i$ определяется как сумма потенциальных энергий взаимодействия всех уникальных пар зарядов:

$W = \sum_{1 \le i < j \le N} k \frac{q_i q_j}{r_{ij}}$, где $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$ – коэффициент в законе Кулона.

Поскольку в нашем случае все заряды одинаковы и равны $\text{q}$, формула упрощается:

$W = k q^2 \sum_{1 \le i < j \le N} \frac{1}{r_{ij}}$

Здесь $N=4$, и общее число пар взаимодействующих зарядов равно $\binom{4}{2} = 6$.

Сначала найдем начальную потенциальную энергию системы ($W_{начальная}$), когда четыре шарика расположены на одной прямой на расстоянии $\text{a}$ друг от друга. Пронумеруем шарики слева направо от 1 до 4. Расстояния между парами шариков будут: $r_{12}=a$, $r_{23}=a$, $r_{34}=a$, $r_{13}=2a$, $r_{24}=2a$, $r_{14}=3a$.

Тогда начальная потенциальная энергия равна:

$W_{начальная} = k q^2 \left( \frac{1}{r_{12}} + \frac{1}{r_{13}} + \frac{1}{r_{14}} + \frac{1}{r_{23}} + \frac{1}{r_{24}} + \frac{1}{r_{34}} \right)$

$W_{начальная} = k q^2 \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{2a} + \frac{1}{3a} + \frac{1}{a} + \frac{1}{2a} + \frac{1}{a} \right) = k q^2 \left( \frac{3}{a} + \frac{2}{2a} + \frac{1}{3a} \right)$

$W_{начальная} = k q^2 \left( \frac{3}{a} + \frac{1}{a} + \frac{1}{3a} \right) = k q^2 \left( \frac{4}{a} + \frac{1}{3a} \right) = k q^2 \frac{12+1}{3a} = \frac{13}{3} \frac{k q^2}{a}$

а) в вершинах квадрата со стороной $\text{a}$

В этом случае шарики находятся в вершинах квадрата. Есть 4 пары зарядов на расстоянии $\text{a}$ (стороны квадрата) и 2 пары на расстоянии $a\sqrt{2}$ (диагонали квадрата).

Конечная потенциальная энергия системы ($W_{конечная, а}$):

$W_{конечная, а} = k q^2 \left( 4 \cdot \frac{1}{a} + 2 \cdot \frac{1}{a\sqrt{2}} \right) = k q^2 \left( \frac{4}{a} + \frac{\sqrt{2}}{a} \right)$

$W_{конечная, а} = \frac{k q^2}{a} (4 + \sqrt{2})$

Работа $A_a$, которую нужно совершить:

$A_a = W_{конечная, а} - W_{начальная} = \frac{k q^2}{a} (4 + \sqrt{2}) - \frac{13}{3} \frac{k q^2}{a}$

$A_a = \frac{k q^2}{a} \left( 4 + \sqrt{2} - \frac{13}{3} \right) = \frac{k q^2}{a} \left( \frac{12 + 3\sqrt{2} - 13}{3} \right) = \frac{k q^2}{a} \frac{3\sqrt{2} - 1}{3}$

Заменяя $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$, получаем окончательное выражение для работы:

$A_a = \frac{q^2(3\sqrt{2} - 1)}{12\pi\epsilon_0 a}$

Ответ: $A_a = \frac{q^2(3\sqrt{2} - 1)}{12\pi\epsilon_0 a}$.

б) в вершинах тетраэдра с ребром $\text{a}$

Тетраэдр имеет 4 вершины и 6 ребер. Если шарики находятся в вершинах правильного тетраэдра с ребром $\text{a}$, то расстояние между любыми двумя шариками равно $\text{a}$.

Конечная потенциальная энергия системы ($W_{конечная, б}$) для 6 пар зарядов, находящихся на расстоянии $\text{a}$ друг от друга:

$W_{конечная, б} = 6 \cdot k \frac{q^2}{a}$

Работа $A_б$, которую нужно совершить:

$A_б = W_{конечная, б} - W_{начальная} = 6 \frac{k q^2}{a} - \frac{13}{3} \frac{k q^2}{a}$

$A_б = \frac{k q^2}{a} \left( 6 - \frac{13}{3} \right) = \frac{k q^2}{a} \left( \frac{18 - 13}{3} \right) = \frac{5}{3} \frac{k q^2}{a}$

Заменяя $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$, получаем окончательное выражение для работы:

$A_б = \frac{5q^2}{12\pi\epsilon_0 a}$

Ответ: $A_б = \frac{5q^2}{12\pi\epsilon_0 a}$.