Номер 12.26, страница 71 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 12. Электростатика - номер 12.26, страница 71.

Условие.

12.26*. Электрон находится на оси тонкого кольца радиусом $\text{R}$ на расстоянии $\text{h}$ от его центра. Кольцо получает положительный заряд $\text{q}$ и начинает притягивать электрон. Обязательно ли электрон пролетит через центр кольца? С какой скоростью $\text{v}$ он может пролететь вблизи этой точки?

Решение.

Решение 2.

Обязательно ли электрон пролетит через центр кольца?

Нет, не обязательно. Электрон пролетит точно через центр кольца только в идеализированном случае: если он изначально покоится и находится строго на оси симметрии кольца. В этом случае сила, действующая на него со стороны кольца, будет направлена строго вдоль оси, и электрон будет двигаться по прямой, проходящей через центр.

Однако любое, даже ничтожно малое, отклонение от оси или наличие начальной скорости, перпендикулярной оси, приведет к тому, что траектория электрона не будет проходить через центр. Силовое поле кольца обладает осевой симметрией, и для любой точки вне оси результирующая сила будет иметь составляющую, направленную к оси. Эта составляющая будет играть роль возвращающей силы, заставляя электрон совершать колебания относительно оси во время его движения к плоскости кольца. Таким образом, в общем случае электрон пролетит лишь вблизи центра кольца, но не через него.

Ответ: Нет, не обязательно. Это произойдет только в идеальном случае, если электрон начнет движение из состояния покоя строго с оси кольца.

С какой скоростью v он может пролететь вблизи этой точки?

Для нахождения скорости электрона вблизи центра кольца воспользуемся законом сохранения энергии, рассматривая идеальный случай, когда электрон начинает движение из состояния покоя строго с оси кольца.

Дано:

Радиус кольца: $\text{R}$

Начальное расстояние от центра: $\text{h}$

Заряд кольца: $\text{q}$ ($q > 0$)

Масса электрона: $m_e$

Заряд электрона: $q_e = -e$ (где $\text{e}$ - модуль элементарного заряда)

Найти:

Скорость электрона вблизи центра: $\text{v}$

Решение:

Согласно закону сохранения энергии, полная энергия системы «электрон-кольцо» в начальный момент времени равна ее полной энергии в момент пролета центра кольца. Начальная скорость электрона равна нулю.

$E_{начальная} = E_{конечная}$

$K_1 + U_1 = K_2 + U_2$

Начальная кинетическая энергия $K_1 = 0$.

Конечная кинетическая энергия $K_2 = \frac{1}{2}m_e v^2$.

Потенциальная энергия $\text{U}$ электрона в электростатическом поле кольца равна произведению заряда электрона на потенциал поля $\phi$: $U = q_e \phi = -e\phi$.

Потенциал $\phi$, создаваемый кольцом с зарядом $\text{q}$ и радиусом $\text{R}$ в точке на его оси на расстоянии $\text{x}$ от центра, равен:

$\phi(x) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{\sqrt{R^2 + x^2}} = \frac{k q}{\sqrt{R^2 + x^2}}$

В начальном положении ($x=h$) потенциальная энергия электрона:

$U_1 = -e \phi(h) = -\frac{k e q}{\sqrt{R^2 + h^2}}$

В конечном положении в центре кольца ($x=0$) потенциальная энергия:

$U_2 = -e \phi(0) = -\frac{k e q}{R}$

Подставляем все в уравнение закона сохранения энергии:

$0 - \frac{k e q}{\sqrt{R^2 + h^2}} = \frac{1}{2}m_e v^2 - \frac{k e q}{R}$

Выразим отсюда кинетическую энергию:

$\frac{1}{2}m_e v^2 = \frac{k e q}{R} - \frac{k e q}{\sqrt{R^2 + h^2}} = k e q \left(\frac{1}{R} - \frac{1}{\sqrt{R^2 + h^2}}\right)$

Отсюда находим скорость $\text{v}$:

$v^2 = \frac{2 k e q}{m_e} \left(\frac{1}{R} - \frac{1}{\sqrt{R^2 + h^2}}\right)$

$v = \sqrt{\frac{2 k e q}{m_e} \left(\frac{1}{R} - \frac{1}{\sqrt{R^2 + h^2}}\right)}$

Ответ: $v = \sqrt{\frac{2 k e q}{m_e} \left(\frac{1}{R} - \frac{1}{\sqrt{R^2 + h^2}}\right)}$, где $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$ - коэффициент в законе Кулона, $\text{e}$ - элементарный заряд, $m_e$ - масса электрона.