Номер 12.33, страница 71 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 12. Электростатика - номер 12.33, страница 71.

Условие.

12.33. Металлический шар радиусом $\text{R}$ имеет заряд $\text{Q}$. Чему равны напряженность поля $\text{E}$ и потенциал $\varphi$ на расстоянии $\text{r}$ от центра шара? Постройте графики зависимостей $E(r)$ и $\varphi(r)$.

Решение.

Решение 2.

Дано

Металлический шар

Радиус шара: $\text{R}$

Заряд шара: $\text{Q}$

Расстояние от центра шара: $\text{r}$

Найти:

Напряженность поля $E(r)$

Потенциал $\varphi(r)$

Графики зависимостей $E(r)$ и $\varphi(r)$

Решение

Поскольку шар металлический (проводящий), в состоянии равновесия весь сообщенный ему заряд $\text{Q}$ будет равномерно распределен по его поверхности. Это ключевое свойство проводников в электростатическом поле.

Для нахождения напряженности и потенциала рассмотрим два случая: внутри шара (и на его поверхности) и вне шара.

1. Напряженность электрического поля E(r)

Для определения напряженности поля воспользуемся теоремой Гаусса. В силу сферической симметрии распределения заряда, электрическое поле будет направлено радиально от центра шара.

а) Внутри шара ($r < R$)

Рассмотрим сферическую поверхность Гаусса радиусом $r < R$ с центром в центре шара. Так как весь заряд $\text{Q}$ находится на поверхности шара (с радиусом $\text{R}$), заряд, заключенный внутри нашей гауссовой поверхности, равен нулю ($Q_{вн} = 0$).

Согласно теореме Гаусса, поток вектора напряженности через замкнутую поверхность равен $ \oint \vec{E} \cdot d\vec{S} = \frac{Q_{вн}}{\varepsilon_0} $.

Поскольку $Q_{вн} = 0$, то и поток равен нулю. В силу симметрии $E \cdot 4\pi r^2 = 0$, откуда следует, что напряженность поля внутри металлического шара равна нулю.

$E(r) = 0$ при $r < R$.

б) Вне шара ($r \ge R$)

Рассмотрим сферическую поверхность Гаусса радиусом $r \ge R$. Заряд, заключенный внутри этой поверхности, равен всему заряду шара $\text{Q}$ ($Q_{вн} = Q$).

Применяя теорему Гаусса: $E \cdot 4\pi r^2 = \frac{Q}{\varepsilon_0}$.

Отсюда выражаем напряженность поля:

$E(r) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q}{r^2} = k \frac{Q}{r^2}$, где $k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}$ — постоянная Кулона.

Эта формула показывает, что вне шара поле такое же, как у точечного заряда $\text{Q}$, помещенного в центр шара. Напряженность на поверхности шара ($r=R$) будет максимальной и равной $E(R) = k \frac{Q}{R^2}$.

Ответ: Напряженность поля $E(r)$ в зависимости от расстояния $\text{r}$ от центра шара определяется следующими соотношениями:

$E(r) = \begin{cases} 0, & \text{если } r < R \\ k\frac{Q}{r^2}, & \text{если } r \ge R \end{cases}$

2. Потенциал электрического поля φ(r)

Потенциал связан с напряженностью соотношением $E = -\frac{d\varphi}{dr}$. Мы найдем потенциал, интегрируя напряженность, приняв, что на бесконечности потенциал равен нулю ($\varphi(\infty) = 0$).

а) Вне шара ($r \ge R$)

$\varphi(r) = -\int_{\infty}^{r} E(r') dr' = -\int_{\infty}^{r} k \frac{Q}{(r')^2} dr' = -kQ \left[-\frac{1}{r'}\right]_{\infty}^{r} = kQ \left(\frac{1}{r} - \frac{1}{\infty}\right) = k \frac{Q}{r}$.

На поверхности шара потенциал будет равен $\varphi(R) = k \frac{Q}{R}$.

б) Внутри шара ($r < R$)

Поскольку напряженность поля внутри проводника равна нулю ($E=0$), то потенциал во всех точках внутри проводника одинаков и равен потенциалу на его поверхности.

$\varphi(r) = \text{const} = \varphi(R) = k \frac{Q}{R}$.

Ответ: Потенциал $\varphi(r)$ в зависимости от расстояния $\text{r}$ от центра шара определяется следующими соотношениями:

$\varphi(r) = \begin{cases} k\frac{Q}{R}, & \text{если } r \le R \\ k\frac{Q}{r}, & \text{если } r > R \end{cases}$

3. Графики зависимостей E(r) и φ(r)

а) График зависимости напряженности E(r)

Для $\text{r}$ от 0 до $\text{R}$, график представляет собой горизонтальную линию на оси абсцисс ($E=0$). В точке $r=R$ происходит скачок напряженности от 0 до максимального значения $E_{max} = k \frac{Q}{R^2}$. Для $r > R$ напряженность убывает обратно пропорционально квадрату расстояния ($E \sim 1/r^2$), асимптотически приближаясь к нулю.

б) График зависимости потенциала φ(r)

Для $\text{r}$ от 0 до $\text{R}$, график представляет собой горизонтальную линию на высоте $\varphi = k \frac{Q}{R}$. В точке $r=R$ значение потенциала остается тем же. Для $r > R$ потенциал убывает обратно пропорционально расстоянию ($\varphi \sim 1/r$), асимптотически приближаясь к нулю. Функция $\varphi(r)$ является непрерывной.

Ответ:

График $E(r)$:
- отрезок на оси $\text{r}$ от 0 до $\text{R}$ ($E=0$);
- скачок в точке $r=R$ до значения $kQ/R^2$;
- кривая, убывающая по закону $1/r^2$ при $r > R$.

График $\varphi(r)$:
- горизонтальная линия на уровне $\varphi=kQ/R$ от $r=0$ до $r=R$;
- кривая, убывающая по закону $1/r$ при $r > R$, плавно продолжающаяся из точки $(R, kQ/R)$.