Номер 12.38, страница 72 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 12. Электростатика - номер 12.38, страница 72.

Условие.

12.38*. Внутри полой проводящей незаряженной сферы радиусом $\text{R}$ помещен (не обязательно в центре) маленький шарик с положительным зарядом $\text{Q}$.

1) Какие заряды индуцируются на сфере? Как они распределяются по ней?

2) Какой вид имеет картина силовых линий электрического поля? Чему равен потенциал $\phi$ сферы?

3) Будет ли поле действовать на положительный точечный заряд $\text{q}$ вне сферы, на расстоянии $\text{r}$ от ее центра?

Если будет, то с какой силой? Считайте, что $q \ll Q$.

4) Как изменятся распределение зарядов и поле, если сферу заземлить?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Полая проводящая незаряженная сфера радиусом $\text{R}$.

Точечный положительный заряд $\text{Q}$, помещенный внутри сферы (не в центре).

Точечный положительный заряд $\text{q}$, расположенный вне сферы на расстоянии $\text{r}$ от ее центра.

Исходный суммарный заряд сферы равен нулю.

Найти:

1) Индуцированные заряды на сфере и их распределение.

2) Картину силовых линий электрического поля и потенциал $\varphi$ сферы.

3) Силу, действующую на заряд $\text{q}$.

4) Распределение зарядов и поле при заземлении сферы.

Решение:

1) Какие заряды индуцируются на сфере? Как они распределяются по ней?

Под действием электрического поля заряда $\text{Q}$ свободные электроны в проводящей сфере придут в движение. Электроны (отрицательные заряды) притянутся к внутренней поверхности сферы, а на внешней поверхности образуется избыток положительных зарядов.

Для определения величины индуцированного заряда на внутренней поверхности рассмотрим замкнутую поверхность (поверхность Гаусса) внутри материала проводника. Поскольку напряженность электрического поля внутри проводника в состоянии равновесия равна нулю, поток вектора напряженности через эту поверхность также равен нулю. Согласно теореме Гаусса, полный заряд внутри этой поверхности должен быть равен нулю. Внутри поверхности находятся заряд $\text{Q}$ и индуцированный на внутренней поверхности заряд $Q_{вн}$. Следовательно, $Q + Q_{вн} = 0$, откуда $Q_{вн} = -Q$.

Сфера изначально была электронейтральна, поэтому ее суммарный заряд равен нулю. Суммарный заряд сферы складывается из зарядов на внутренней и внешней поверхностях: $Q_{вн} + Q_{внеш} = 0$. Подставляя $Q_{вн} = -Q$, получаем $-Q + Q_{внеш} = 0$, откуда $Q_{внеш} = +Q$.

Заряд $\text{Q}$ расположен не в центре, поэтому индуцированный на внутренней поверхности отрицательный заряд $-Q$ будет распределен неравномерно. Плотность заряда будет выше на тех участках внутренней поверхности, которые находятся ближе к заряду $\text{Q}$.

Заряд на внешней поверхности $+Q$ будет распределен равномерно, так как проводящий материал сферы экранирует его от влияния заряда $\text{Q}$, находящегося внутри. Заряды на внешней поверхности отталкиваются друг от друга и распределяются так, чтобы минимизировать энергию, что для сферы означает равномерное распределение.

Ответ: На внутренней поверхности сферы индуцируется заряд $-Q$, распределенный неравномерно. На внешней поверхности индуцируется заряд $+Q$, распределенный равномерно.

2) Какой вид имеет картина силовых линий электрического поля? Чему равен потенциал φ сферы?

Картина силовых линий будет следующей:

- Внутри полости ($\text{r}$ < внутреннего радиуса) силовые линии начинаются на заряде $+Q$ и заканчиваются на индуцированном заряде $-Q$ на внутренней поверхности сферы. Линии перпендикулярны поверхности проводника.

- Внутри материала сферы поле отсутствует ($E=0$), силовых линий нет.

- Снаружи сферы ($r > R$) поле создается равномерно распределенным по внешней поверхности зарядом $+Q$. Это поле эквивалентно полю точечного заряда $+Q$, помещенного в центр сферы. Силовые линии радиально расходятся от центра сферы.

Поскольку сфера является проводником, все ее точки имеют одинаковый потенциал. Потенциал сферы можно найти как потенциал на ее внешней поверхности. Он создается равномерно распределенным зарядом $+Q$ и равен потенциалу точечного заряда $\text{Q}$, расположенного в центре, на расстоянии $\text{R}$ от него:

$\varphi = k \frac{Q}{R} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{R}$, где $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$ - постоянная Кулона.

Ответ: Силовые линии внутри полости идут от заряда $\text{Q}$ к внутренней стенке; в толще сферы поля нет; снаружи поле такое же, как у точечного заряда $\text{Q}$ в центре. Потенциал сферы постоянен и равен $\varphi = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{R}$.

3) Будет ли поле действовать на положительный точечный заряд q вне сферы, на расстоянии r от ее центра? Если будет, то с какой силой? Считайте, что q << Q.

Да, поле будет действовать. Как было показано, электрическое поле вне сферы создается зарядом $+Q$, равномерно распределенным по ее внешней поверхности. Это поле эквивалентно полю точечного заряда $+Q$, расположенного в центре сферы.

Напряженность этого поля на расстоянии $\text{r}$ от центра ($r > R$) равна:

$E = k \frac{Q}{r^2} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{r^2}$.

Тогда сила, действующая на точечный заряд $\text{q}$, находящийся на этом расстоянии, по закону Кулона будет равна:

$F = qE = k \frac{Qq}{r^2} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Qq}{r^2}$.

Поскольку заряды $\text{Q}$ и $\text{q}$ положительны, эта сила будет силой отталкивания, направленной радиально от центра сферы. Условие $q \ll Q$ означает, что можно пренебречь влиянием заряда $\text{q}$ на распределение зарядов на сфере.

Ответ: Да, поле будет действовать с силой отталкивания $F = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Qq}{r^2}$, направленной вдоль радиуса от центра сферы.

4) Как изменятся распределение зарядов и поле, если сферу заземлить?

Заземление означает соединение сферы с "землей" - резервуаром зарядов, потенциал которого условно принимается за ноль. При заземлении потенциал сферы станет равен нулю ($\varphi_{сферы} = 0$).

Заряд $+Q$ на внешней поверхности сферы, который создавал ненулевой потенциал, будет нейтрализован электронами, которые перетекут из земли на сферу. Таким образом, заряд на внешней поверхности станет равен нулю: $Q_{внеш} = 0$.

На внутренней поверхности по-прежнему останется индуцированный заряд $Q_{вн} = -Q$, необходимый для экранирования поля заряда $\text{Q}$ внутри проводника. Его распределение останется неравномерным.

Суммарный заряд заземленной сферы станет равен $Q_{сферы}' = Q_{вн} + Q_{внеш} = -Q + 0 = -Q$.

Электрическое поле изменится следующим образом:

- Внутри полости и в толще проводника поле останется таким же, как и до заземления.

- Снаружи сферы поле станет равным нулю. Это следует из теоремы Гаусса: полный заряд, заключенный внутри гауссовой поверхности, проведенной вне сферы, равен $Q_{полный} = Q + Q_{вн} = Q + (-Q) = 0$.

Таким образом, заземленная проводящая сфера полностью экранирует внешнее пространство от электрического поля заряда, находящегося внутри нее.

Ответ: На внутренней поверхности останется неравномерно распределенный заряд $-Q$, а заряд на внешней поверхности станет равен нулю. Общий заряд сферы станет $-Q$. Электрическое поле вне сферы станет равным нулю.