Номер 12.37, страница 72 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 12. Электростатика - номер 12.37, страница 72.

Условие.

12.37. Два металлических шара радиусами $R_1 = 5 \text{ см}$, $R_2 = 15 \text{ см}$ имеют заряды $q_1 = 12 \text{ нКл}$, $q_2 = -40 \text{ нКл}$. Шары соединяют тонкой проволокой. Какой заряд $\Delta q$ пройдет по проволоке? Расстояние между шарами намного больше их радиусов.

Решение.

Решение 2.

Дано:

$R_1 = 5 \text{ см}$

$R_2 = 15 \text{ см}$

$q_1 = 12 \text{ нКл}$

$q_2 = -40 \text{ нКл}$

Перевод в систему СИ:

$R_1 = 5 \times 10^{-2} \text{ м} = 0.05 \text{ м}$

$R_2 = 15 \times 10^{-2} \text{ м} = 0.15 \text{ м}$

$q_1 = 12 \times 10^{-9} \text{ Кл}$

$q_2 = -40 \times 10^{-9} \text{ Кл}$

Найти:

$\Delta q$ - заряд, прошедший по проволоке

Решение:

Когда два металлических шара соединяют тонкой проволокой, они образуют единую проводящую систему. Заряды на шарах перераспределяются до тех пор, пока их электростатические потенциалы не станут равными. Так как по условию расстояние между шарами намного больше их радиусов, мы можем пренебречь их взаимным влиянием и использовать формулу потенциала для уединенного шара.

Потенциал уединенного заряженного шара радиусом $\text{R}$ с зарядом $\text{q}$ определяется по формуле:

$\phi = k \frac{q}{R}$

где $\text{k}$ - постоянная Кулона.

После соединения шаров проволокой их потенциалы становятся равными:

$\phi'_1 = \phi'_2$

Пусть $q'_1$ и $q'_2$ - заряды шаров после соединения. Тогда:

$k \frac{q'_1}{R_1} = k \frac{q'_2}{R_2}$

Отсюда получаем соотношение между зарядами после перераспределения:

$\frac{q'_1}{R_1} = \frac{q'_2}{R_2} \implies q'_2 = q'_1 \frac{R_2}{R_1}$

Система из двух шаров и проволоки является электрически изолированной, поэтому для нее выполняется закон сохранения заряда. Суммарный заряд до соединения равен суммарному заряду после соединения:

$q_1 + q_2 = q'_1 + q'_2$

Подставим выражение для $q'_2$ в закон сохранения заряда:

$q_1 + q_2 = q'_1 + q'_1 \frac{R_2}{R_1}$

$q_1 + q_2 = q'_1 \left(1 + \frac{R_2}{R_1}\right)$

$q_1 + q_2 = q'_1 \left(\frac{R_1 + R_2}{R_1}\right)$

Выразим заряд $q'_1$:

$q'_1 = (q_1 + q_2) \frac{R_1}{R_1 + R_2}$

Вычислим суммарный заряд системы:

$Q_{общ} = q_1 + q_2 = 12 \times 10^{-9} \text{ Кл} + (-40 \times 10^{-9} \text{ Кл}) = -28 \times 10^{-9} \text{ Кл}$

Теперь найдем заряд на первом шаре после соединения:

$q'_1 = (-28 \times 10^{-9} \text{ Кл}) \frac{0.05 \text{ м}}{0.05 \text{ м} + 0.15 \text{ м}} = (-28 \times 10^{-9}) \frac{0.05}{0.20} = (-28 \times 10^{-9}) \times \frac{1}{4} = -7 \times 10^{-9} \text{ Кл}$

Заряд, прошедший по проволоке $\Delta q$, равен изменению заряда на любом из шаров. Найдем его как разность между начальным и конечным зарядами первого шара (это будет заряд, который ушел с первого шара):

$\Delta q = q_1 - q'_1$

$\Delta q = 12 \times 10^{-9} \text{ Кл} - (-7 \times 10^{-9} \text{ Кл}) = 12 \times 10^{-9} \text{ Кл} + 7 \times 10^{-9} \text{ Кл} = 19 \times 10^{-9} \text{ Кл}$

$\Delta q = 19 \text{ нКл}$

Для проверки можно найти заряд на втором шаре после соединения и вычислить изменение заряда на нем:

$q'_2 = Q_{общ} - q'_1 = -28 \times 10^{-9} \text{ Кл} - (-7 \times 10^{-9} \text{ Кл}) = -21 \times 10^{-9} \text{ Кл}$

Изменение заряда второго шара (заряд, который пришел на второй шар):

$\Delta q = q'_2 - q_2 = -21 \times 10^{-9} \text{ Кл} - (-40 \times 10^{-9} \text{ Кл}) = -21 \times 10^{-9} + 40 \times 10^{-9} = 19 \times 10^{-9} \text{ Кл} = 19 \text{ нКл}$

Результаты совпадают. По проволоке прошел заряд величиной 19 нКл.

Ответ: $\Delta q = 19 \text{ нКл}$