Номер 12.35, страница 72 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 12. Электростатика - номер 12.35, страница 72.

Условие.

12.35**. Вне изолированной металлической незаряженной сферы радиусом $\text{R}$ на расстоянии $\text{r}$ от ее центра находится точечный заряд $\text{q}$. Каков потенциал сферы $\varphi$?

Решение.

Решение 2.

Дано

Изолированная металлическая незаряженная сфера
Радиус сферы: $\text{R}$
Точечный заряд: $\text{q}$
Расстояние от центра сферы до заряда: $\text{r}$ (причем $r > R$)

Найти:

Потенциал сферы: $φ$

Решение

Поскольку сфера является металлической (проводящей), в условиях электростатического равновесия она представляет собой эквипотенциальное тело. Это означает, что потенциал одинаков во всех точках на поверхности сферы и внутри нее. Следовательно, для нахождения потенциала всей сферы достаточно вычислить потенциал в любой ее точке, например, в центре.

Потенциал в центре сферы создается как внешним точечным зарядом $\text{q}$, так и индуцированными на поверхности сферы зарядами. Согласно принципу суперпозиции, потенциал в центре $φ$ равен сумме этих двух потенциалов:

$φ = φ_q + φ_{ind}$

1. Потенциал $φ_q$, создаваемый в центре сферы внешним точечным зарядом $\text{q}$, который находится на расстоянии $\text{r}$ от центра, определяется по формуле:

$φ_q = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{r}$

где $\epsilon_0$ — электрическая постоянная.

2. Потенциал $φ_{ind}$, создаваемый в центре сферы индуцированными зарядами. Внешнее поле заряда $\text{q}$ вызывает перераспределение свободных зарядов в металлической сфере (явление электростатической индукции). Однако сфера по условию изолирована и изначально была не заряжена, поэтому ее полный (суммарный) заряд остается равным нулю. Это значит, что и суммарный индуцированный на ее поверхности заряд $Q_{ind}$ также равен нулю:

$Q_{ind} = 0$

Все элементы индуцированного заряда $dq_{ind}$ располагаются на поверхности сферы, то есть на одинаковом расстоянии $\text{R}$ от ее центра. Потенциал, создаваемый в центре всеми этими зарядами, можно найти, проинтегрировав вклады от каждого элементарного заряда $dq_{ind}$:

$φ_{ind} = \int_{S} \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{dq_{ind}}{R} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0 R} \int_{S} dq_{ind}$

Так как интеграл от $dq_{ind}$ по всей поверхности $\text{S}$ есть полный индуцированный заряд $Q_{ind}$, который равен нулю, то и потенциал, создаваемый индуцированными зарядами в центре сферы, равен нулю:

$φ_{ind} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0 R} \cdot Q_{ind} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0 R} \cdot 0 = 0$

Таким образом, полный потенциал в центре сферы, а значит, и потенциал всей сферы, определяется только потенциалом от внешнего заряда $\text{q}$:

$φ = φ_q + φ_{ind} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{r} + 0 = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{r}$

Ответ:

Потенциал сферы $φ = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{r}$.