Номер 12.29, страница 71 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 12. Электростатика - номер 12.29, страница 71.

Условие.

12.29*. Тонкое неподвижное проволочное кольцо радиусом $\text{R}$ имеет заряд $+Q$. В центре кольца находится маленький шарик, имеющий массу $\text{m}$ и заряд $-q$. Шарику придают начальную скорость $v_0$, направленную вдоль оси кольца. Как зависит характер движения шарика от $v_0$?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Радиус кольца: $\text{R}$

Заряд кольца: $+Q$

Масса шарика: $\text{m}$

Заряд шарика: $-q$

Начальная скорость шарика: $v_0$

Все величины представлены в системе СИ.

Найти:

Зависимость характера движения шарика от $v_0$.

Решение:

На шарик со стороны кольца действует сила электростатического притяжения. Поскольку эта сила является консервативной, при движении шарика сохраняется его полная механическая энергия. Полная энергия $\text{E}$ состоит из кинетической энергии $\text{K}$ и потенциальной энергии $\text{U}$ шарика в поле кольца.

$E = K + U = \text{const}$

Потенциал электрического поля, создаваемого кольцом на расстоянии $\text{x}$ от его центра вдоль оси, определяется формулой:

$V(x) = \frac{kQ}{\sqrt{R^2 + x^2}}$

где $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$ – электростатическая постоянная.

Тогда потенциальная энергия $U(x)$ шарика с зарядом $-q$ в этом поле равна:

$U(x) = (-q)V(x) = -\frac{kQq}{\sqrt{R^2 + x^2}}$

В начальный момент времени шарик находится в центре кольца ($x=0$) и обладает скоростью $v_0$. Его начальная полная энергия $\text{E}$ составляет:

$E = K_0 + U(0) = \frac{1}{2}mv_0^2 - \frac{kQq}{R}$

Характер дальнейшего движения зависит от знака полной энергии $\text{E}$. Чтобы шарик смог уйти на бесконечность ($x \to \infty$), он должен преодолеть притяжение кольца. На бесконечности потенциальная энергия шарика равна нулю: $U(\infty) = 0$.

Для того чтобы шарик смог достичь бесконечности, его полная энергия должна быть неотрицательной ($E \ge 0$). В противном случае, при $E < 0$, шарик не сможет удалиться на бесконечность, так как его кинетическая энергия не может быть отрицательной.

Найдем критическую начальную скорость $v_{кр}$, при которой шарик достигает бесконечности с нулевой скоростью. В этом предельном случае его полная энергия равна нулю:

$E = \frac{1}{2}mv_{кр}^2 - \frac{kQq}{R} = 0$

Отсюда критическая скорость равна:

$v_{кр} = \sqrt{\frac{2kQq}{mR}}$

Теперь можно определить характер движения шарика, сравнивая его начальную скорость $v_0$ с критической скоростью $v_{кр}$.

1. Если $v_0 < v_{кр}$, то полная энергия шарика отрицательна ($E < 0$). Это означает, что шарик находится в "потенциальной яме" и не может ее покинуть. Он будет двигаться вдоль оси, замедляясь, дойдет до точки максимального удаления $x_{max}$, где его скорость станет равной нулю, а затем под действием силы притяжения вернется в центр. Движение будет колебательным.

2. Если $v_0 = v_{кр}$, то полная энергия шарика равна нулю ($E = 0$). Этой энергии ровно столько, чтобы преодолеть притяжение кольца. Шарик будет удаляться на бесконечность, при этом его скорость будет асимптотически стремиться к нулю.

3. Если $v_0 > v_{кр}$, то полная энергия шарика положительна ($E > 0$). Шарик не только преодолеет притяжение кольца, но и сохранит часть кинетической энергии на бесконечности. Он будет удаляться на бесконечность и будет иметь там ненулевую скорость $v_{\infty}$, которую можно найти из закона сохранения энергии:

$\frac{1}{2}mv_0^2 - \frac{kQq}{R} = \frac{1}{2}mv_{\infty}^2 \implies v_{\infty} = \sqrt{v_0^2 - v_{кр}^2}$

Ответ:

Характер движения шарика определяется соотношением между его начальной скоростью $v_0$ и критической скоростью $v_{кр} = \sqrt{\frac{2kQq}{mR}}$:

• При $v_0 < \sqrt{\frac{2kQq}{mR}}$ шарик совершает колебательное движение вдоль оси кольца.
• При $v_0 = \sqrt{\frac{2kQq}{mR}}$ шарик удаляется на бесконечность, его скорость асимптотически стремится к нулю.
• При $v_0 > \sqrt{\frac{2kQq}{mR}}$ шарик уходит на бесконечность, имея там остаточную скорость $v_{\infty} = \sqrt{v_0^2 - \frac{2kQq}{mR}}$.