Номер 12.25, страница 71 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 12. Электростатика - номер 12.25, страница 71.

Условие.

12.25*. По тонкому металлическому кольцу радиусом $\text{R}$ равномерно распределен заряд $\text{q}$. Определите напряженность поля $\text{E}$ и потенциал $\varphi$ в точке $\text{A}$, расположенной на оси кольца на расстоянии $\text{h}$ от его центра.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Радиус тонкого металлического кольца: $\text{R}$

Общий заряд кольца, равномерно распределенный по нему: $\text{q}$

Расстояние от центра кольца до точки А, расположенной на оси: $\text{h}$

Величины заданы в общем виде, перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

Напряженность электрического поля $\text{E}$ в точке А.

Потенциал электрического поля $\varphi$ в точке А.

Решение:

Определение напряженности поля E

Для решения задачи воспользуемся принципом суперпозиции. Разобьем кольцо на малые элементы, каждый из которых можно считать точечным зарядом $\text{dq}$.

Расстояние $\text{r}$ от любого такого элемента $\text{dq}$ на кольце до точки А на оси одинаково. По теореме Пифагора оно равно $r = \sqrt{R^2 + h^2}$.

Каждый элемент $\text{dq}$ создает в точке А элементарное поле напряженностью $\vec{dE}$. Модуль этого поля определяется по формуле для точечного заряда:

$dE = k \frac{|dq|}{r^2} = k \frac{dq}{R^2 + h^2}$

Здесь $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$ — коэффициент пропорциональности в законе Кулона.

Вектор $\vec{dE}$ направлен вдоль прямой, соединяющей элемент $\text{dq}$ и точку А. Разложим этот вектор на две составляющие: осевую $dE_h$, направленную вдоль оси кольца, и перпендикулярную (радиальную) $dE_\perp$, направленную перпендикулярно оси.

В силу симметрии задачи, для каждого элемента $\text{dq}$ найдется диаметрально противоположный элемент, который создаст поле с такой же по модулю, но противоположно направленной перпендикулярной составляющей $dE_\perp$. При суммировании (интегрировании) по всему кольцу все перпендикулярные составляющие взаимно компенсируются.

Таким образом, результирующий вектор напряженности $\vec{E}$ будет направлен вдоль оси кольца, и его модуль равен сумме проекций всех векторов $\vec{dE}$ на эту ось.

Проекция вектора $\vec{dE}$ на ось кольца равна $dE_h = dE \cos\alpha$, где $\alpha$ — угол между вектором $\vec{dE}$ и осью кольца. Из геометрии задачи следует, что $\cos\alpha = \frac{h}{r} = \frac{h}{\sqrt{R^2 + h^2}}$.

Подставим выражения для $\text{dE}$ и $\cos\alpha$:

$dE_h = \left( k \frac{dq}{R^2 + h^2} \right) \cdot \left( \frac{h}{\sqrt{R^2 + h^2}} \right) = \frac{k h}{(R^2 + h^2)^{3/2}} dq$

Для нахождения полной напряженности $\text{E}$ проинтегрируем это выражение по всему заряду кольца:

$E = \int dE_h = \int_0^q \frac{k h}{(R^2 + h^2)^{3/2}} dq$

Множитель $\frac{k h}{(R^2 + h^2)^{3/2}}$ является константой для всех элементов кольца, поэтому его можно вынести за знак интеграла:

$E = \frac{k h}{(R^2 + h^2)^{3/2}} \int_0^q dq$

Интеграл от $\text{dq}$ по всему кольцу равен полному заряду $\text{q}$. Следовательно, модуль напряженности поля в точке А равен:

$E = \frac{k h q}{(R^2 + h^2)^{3/2}}$

Подставляя $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$, получаем:

$E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{h q}{(R^2 + h^2)^{3/2}}$

Вектор $\vec{E}$ направлен вдоль оси от центра кольца, если $q > 0$, и к центру, если $q < 0$.

Ответ: Напряженность поля в точке А равна $E = \frac{k h q}{(R^2 + h^2)^{3/2}}$ или $E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{h q}{(R^2 + h^2)^{3/2}}$, направлена вдоль оси кольца.

Определение потенциала φ

Потенциал — скалярная величина. По принципу суперпозиции, потенциал $\varphi$ в точке А равен алгебраической сумме потенциалов $d\varphi$, создаваемых всеми элементарными зарядами $\text{dq}$ кольца.

Потенциал, создаваемый точечным зарядом $\text{dq}$ на расстоянии $\text{r}$, равен:

$d\varphi = k \frac{dq}{r}$

Как мы уже установили, расстояние $\text{r}$ от любого элемента кольца до точки А одинаково и равно $r = \sqrt{R^2 + h^2}$.

Тогда $d\varphi = k \frac{dq}{\sqrt{R^2 + h^2}}$.

Для нахождения полного потенциала $\varphi$ проинтегрируем это выражение по всему заряду кольца:

$\varphi = \int d\varphi = \int_0^q \frac{k}{\sqrt{R^2 + h^2}} dq$

Множитель $\frac{k}{\sqrt{R^2 + h^2}}$ является константой, выносим его за знак интеграла:

$\varphi = \frac{k}{\sqrt{R^2 + h^2}} \int_0^q dq$

Интеграл от $\text{dq}$ равен полному заряду $\text{q}$. Таким образом, получаем выражение для потенциала:

$\varphi = \frac{k q}{\sqrt{R^2 + h^2}}$

Подставляя $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$, получаем:

$\varphi = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{\sqrt{R^2 + h^2}}$

Ответ: Потенциал в точке А равен $\varphi = \frac{k q}{\sqrt{R^2 + h^2}}$ или $\varphi = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{\sqrt{R^2 + h^2}}$.