Номер 12.28, страница 71 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 12. Электростатика - номер 12.28, страница 71.

Условие.

12.28**. Тонкое проволочное кольцо радиусом $\text{R}$ имеет электрический заряд $+Q$. Маленький шарик массой $\text{m}$, имеющий заряд $-q$, может двигаться без трения по тонкой диэлектрической спице, проходящей вдоль оси кольца. Как будет двигаться шарик, если его отвести от центра кольца на расстояние $x_0 \ll R$ и отпустить без начальной скорости? Найдите зависимость $x(t)$. Как изменится движение, если убрать спицу?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Радиус кольца: $\text{R}$
Заряд кольца: $+Q$
Масса шарика: $\text{m}$
Заряд шарика: $-q$
Начальное смещение: $x_0$, где $x_0 \ll R$
Начальная скорость: $v_0 = 0$

Найти:

1. Зависимость координаты шарика от времени $x(t)$.
2. Как изменится движение, если убрать спицу.

Решение:

Как будет двигаться шарик, если его отвести от центра кольца на расстояние $x_0 \ll R$ и отпустить без начальной скорости? Найдите зависимость $x(t)$.

1. Сначала найдем напряженность электрического поля $\text{E}$, создаваемого кольцом на его оси на расстоянии $\text{x}$ от центра. Разобьем кольцо на малые элементы $\text{dl}$, каждый из которых несет заряд $\text{dQ}$. Расстояние от элемента $\text{dl}$ до точки на оси равно $r = \sqrt{R^2 + x^2}$.

Вектор напряженности $d\vec{E}$ от элемента $\text{dQ}$ направлен вдоль линии, соединяющей элемент и точку на оси. Из соображений симметрии, компоненты векторов $d\vec{E}$, перпендикулярные оси кольца, при суммировании по всему кольцу взаимно уничтожатся. Суммируются только проекции на ось $\text{x}$. Проекция $dE_x$ равна $dE_x = dE \cos\alpha$, где $\cos\alpha = \frac{x}{r} = \frac{x}{\sqrt{R^2+x^2}}$.

Напряженность поля от элемента $dQ = \frac{Q}{2\pi R}dl$ равна $dE = k\frac{dQ}{r^2} = k\frac{dQ}{R^2+x^2}$, где $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$ – постоянная в законе Кулона.

Суммарная напряженность поля на оси:$E_x = \int_{ring} dE_x = \int_{ring} k\frac{dQ}{R^2+x^2} \frac{x}{\sqrt{R^2+x^2}} = \frac{kQx}{(R^2+x^2)^{3/2}}$.Поле направлено вдоль оси от кольца (при $x>0$).

2. На шарик с зарядом $-q$ действует сила Кулона $F_x = (-q)E_x$:$F_x = -q \frac{kQx}{(R^2+x^2)^{3/2}} = -\frac{kQqx}{(R^2+x^2)^{3/2}}$.Знак «минус» показывает, что сила является возвращающей, то есть всегда направлена к центру кольца (к положению равновесия $x=0$).

3. Поскольку по условию смещение мало ($x \ll R$), то в знаменателе можно пренебречь слагаемым $x^2$ по сравнению с $R^2$:$R^2+x^2 \approx R^2$.Тогда выражение для силы упрощается:$F_x \approx -\frac{kQqx}{(R^2)^{3/2}} = -\frac{kQq}{R^3}x$.

4. Эта сила имеет вид $F_x = -k_{eff}x$, где $k_{eff} = \frac{kQq}{R^3}$ – эффективный коэффициент жесткости. Такая сила вызывает гармонические колебания.

5. Запишем второй закон Ньютона для шарика: $m a_x = F_x$.$m \ddot{x} = -\frac{kQq}{R^3}x$.Перепишем в виде дифференциального уравнения гармонических колебаний:$\ddot{x} + \frac{kQq}{mR^3}x = 0$.

6. Это уравнение вида $\ddot{x} + \omega^2 x = 0$, где $\omega$ – циклическая частота колебаний.$\omega^2 = \frac{kQq}{mR^3} \Rightarrow \omega = \sqrt{\frac{kQq}{mR^3}}$.

7. Общее решение этого уравнения: $x(t) = A\cos(\omega t + \phi)$, где $\text{A}$ – амплитуда, а $\phi$ – начальная фаза.Параметры $\text{A}$ и $\phi$ находим из начальных условий:- В момент $t=0$ смещение $x(0) = x_0$.- В момент $t=0$ скорость $v(0) = \dot{x}(0) = 0$.

Из первого условия: $x_0 = A\cos(\phi)$.Скорость шарика: $\dot{x}(t) = -A\omega\sin(\omega t + \phi)$.Из второго условия: $0 = -A\omega\sin(\phi)$. Так как $A \ne 0$ и $\omega \ne 0$, то $\sin(\phi)=0$, откуда $\phi=0$ или $\phi=\pi$.Если $\phi=0$, то $\cos(\phi)=1$, и из первого условия получаем $A = x_0$.

8. Таким образом, закон движения шарика:$x(t) = x_0\cos(\omega t)$.Шарик будет совершать гармонические колебания вдоль спицы около центра кольца с амплитудой $x_0$ и циклической частотой $\omega = \sqrt{\frac{kQq}{mR^3}}$.

Ответ: Шарик будет совершать гармонические колебания около центра кольца. Зависимость его координаты от времени описывается уравнением $x(t) = x_0 \cos\left(\sqrt{\frac{kQq}{mR^3}} t\right)$.

Как изменится движение, если убрать спицу?

1. Рассмотрим устойчивость положения равновесия шарика в центре кольца ($x=0$). Спица обеспечивает устойчивость, заставляя шарик двигаться только вдоль оси.

2. Потенциальная энергия $\text{U}$ шарика в поле кольца равна $U = -q\Phi$, где $\Phi$ – потенциал поля кольца. На оси $\text{x}$ потенциал равен $\Phi(x) = \frac{kQ}{\sqrt{R^2+x^2}}$.Для малых $x \ll R$ потенциальная энергия вблизи центра $U(x) \approx -\frac{kQq}{R} + \frac{kQq}{2R^3}x^2$. Поскольку второй член положителен, $U(x)$ имеет минимум при $x=0$. Это означает, что равновесие устойчиво относительно смещений вдоль оси $\text{x}$.

3. Теперь рассмотрим смещение в радиальном направлении (перпендикулярно оси), например, вдоль оси $\text{y}$. Можно показать, что для малых смещений $y \ll R$ от центра в плоскости кольца потенциальная энергия имеет вид $U(y) \approx -\frac{kQq}{R} - \frac{kQq}{4R^3}y^2$. Второй член здесь отрицателен, что означает, что $U(y)$ имеет максимум при $y=0$. Это означает, что равновесие неустойчиво относительно смещений в радиальном направлении.

4. Таким образом, положение равновесия в центре кольца является седловой точкой: оно устойчиво для движений вдоль оси, но неустойчиво для движений в плоскости, перпендикулярной оси.

5. Если убрать спицу, то в идеальном случае (шарик смещен строго по оси, и нет никаких возмущений) движение шарика не изменится, так как сила по-прежнему будет направлена вдоль оси. Однако в реальных условиях любое, даже самое малое, случайное смещение от оси приведет к тому, что на шарик начнет действовать сила, уводящая его еще дальше от оси. Движение станет неустойчивым, и шарик в итоге будет притянут к ближайшей точке кольца.

Ответ: Движение шарика станет неустойчивым. Хотя в идеальных условиях траектория осталась бы прежней, любое малое отклонение от оси приведет к тому, что шарик будет ускоряться в сторону от оси и в конечном итоге столкнется с кольцом.