Номер 12.21, страница 70 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 12. Электростатика - номер 12.21, страница 70.

Условие.

12.21*. Два электрона находятся на большом расстоянии друг от друга. Вначале один электрон неподвижен, а другой приближается к нему с начальной скоростью, $v_0 = 1000 \text{ км/с}$, направленной вдоль соединяющей электроны прямой. На какое наименьшее расстояние они сблизятся? С какими скоростями разлетятся?

Решение.

Решение 2.

Рассмотрим систему из двух электронов как замкнутую, поскольку внешние силы (например, гравитационные) пренебрежимо малы по сравнению с силой электростатического взаимодействия между ними. Для такой системы выполняются закон сохранения импульса и закон сохранения полной механической энергии.

Обозначим массу электрона как $m_e$, а его заряд как $-e$. Начальная скорость первого электрона $v_{1,0} = 0$, а второго $v_{2,0} = v_0$. Поскольку вначале электроны находятся на большом расстоянии друг от друга, их начальной потенциальной энергией взаимодействия можно пренебречь ($U_0 \approx 0$).

Дано:

$v_0 = 1000 \text{ км/с}$
$m_e = 9.11 \cdot 10^{-31} \text{ кг}$ (масса электрона)
$e = 1.602 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}$ (элементарный заряд)
$k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \approx 8.99 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}$ (постоянная Кулона)

Перевод в СИ:
$v_0 = 1000 \cdot 10^3 \text{ м/с} = 10^6 \text{ м/с}$

Найти:

$r_{min}$ - наименьшее расстояние сближения.
$v_{1,f}, v_{2,f}$ - скорости электронов после разлета.

Решение:

На какое наименьшее расстояние они сблизятся?

В момент наибольшего сближения (на расстоянии $r_{min}$) относительная скорость электронов равна нулю, то есть они движутся с одинаковой скоростью. Обозначим эту скорость как $\text{v}$.

1. Закон сохранения импульса: Начальный импульс системы: $p_0 = m_e v_{1,0} + m_e v_{2,0} = m_e \cdot 0 + m_e v_0 = m_e v_0$. Импульс системы в момент наибольшего сближения: $p_{min} = m_e v + m_e v = 2 m_e v$. Из закона сохранения импульса $p_0 = p_{min}$: $m_e v_0 = 2 m_e v$ Отсюда находим скорость электронов в момент наибольшего сближения: $v = \frac{v_0}{2}$

2. Закон сохранения энергии: Начальная энергия системы является чисто кинетической, так как потенциальная энергия $U_0 \approx 0$: $E_0 = \frac{m_e v_0^2}{2}$ Энергия системы в момент наибольшего сближения состоит из кинетической энергии обоих электронов и их потенциальной энергии электростатического взаимодействия: $E_{min} = K_{min} + U_{min} = \left(\frac{m_e v^2}{2} + \frac{m_e v^2}{2}\right) + \frac{k e^2}{r_{min}} = m_e v^2 + \frac{k e^2}{r_{min}}$ Подставим найденное значение $v = v_0 / 2$: $E_{min} = m_e \left(\frac{v_0}{2}\right)^2 + \frac{k e^2}{r_{min}} = \frac{m_e v_0^2}{4} + \frac{k e^2}{r_{min}}$

Из закона сохранения энергии $E_0 = E_{min}$: $\frac{m_e v_0^2}{2} = \frac{m_e v_0^2}{4} + \frac{k e^2}{r_{min}}$ Выразим $r_{min}$: $\frac{k e^2}{r_{min}} = \frac{m_e v_0^2}{2} - \frac{m_e v_0^2}{4} = \frac{m_e v_0^2}{4}$ $r_{min} = \frac{4 k e^2}{m_e v_0^2}$

Подставим числовые значения: $r_{min} = \frac{4 \cdot (8.99 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}) \cdot (1.602 \cdot 10^{-19} \text{ Кл})^2}{(9.11 \cdot 10^{-31} \text{ кг}) \cdot (10^6 \text{ м/с})^2}$ $r_{min} = \frac{4 \cdot 8.99 \cdot 10^9 \cdot 2.566 \cdot 10^{-38}}{9.11 \cdot 10^{-31} \cdot 10^{12}} \text{ м} = \frac{92.28}{9.11} \cdot 10^{-10} \text{ м} \approx 10.13 \cdot 10^{-10} \text{ м}$ $r_{min} \approx 1.01 \cdot 10^{-9} \text{ м}$

Ответ: Наименьшее расстояние, на которое сблизятся электроны, составляет примерно $1.01 \cdot 10^{-9}$ м (или 1.01 нм).

С какими скоростями разлетятся?

После сближения электроны начнут отталкиваться и разлетаться. Когда расстояние между ними снова станет очень большим ($r_f \to \infty$), их потенциальной энергией взаимодействия можно будет пренебречь ($U_f \approx 0$). Обозначим их конечные скорости как $v_{1,f}$ и $v_{2,f}$.

1. Закон сохранения импульса (для начального и конечного состояний): $p_0 = p_f \implies m_e v_0 = m_e v_{1,f} + m_e v_{2,f}$ $v_0 = v_{1,f} + v_{2,f}$ (1)

2. Закон сохранения энергии (для начального и конечного состояний): Поскольку $U_0 \approx 0$ и $U_f \approx 0$, закон сохранения энергии сводится к закону сохранения кинетической энергии. $E_0 = E_f \implies \frac{m_e v_0^2}{2} = \frac{m_e v_{1,f}^2}{2} + \frac{m_e v_{2,f}^2}{2}$ $v_0^2 = v_{1,f}^2 + v_{2,f}^2$ (2)

Решим систему уравнений (1) и (2). Из (1) выразим $v_{2,f} = v_0 - v_{1,f}$ и подставим в (2): $v_0^2 = v_{1,f}^2 + (v_0 - v_{1,f})^2$ $v_0^2 = v_{1,f}^2 + v_0^2 - 2 v_0 v_{1,f} + v_{1,f}^2$ $0 = 2 v_{1,f}^2 - 2 v_0 v_{1,f}$ $0 = 2 v_{1,f} (v_{1,f} - v_0)$

Это уравнение имеет два математических решения:
1) $v_{1,f} = 0$. Тогда из уравнения (1) следует, что $v_{2,f} = v_0$. Это решение соответствует начальному состоянию системы (или гипотетическому случаю, когда частицы не взаимодействовали), что не является физическим результатом столкновения.
2) $v_{1,f} = v_0$. Тогда из уравнения (1) следует, что $v_{2,f} = v_0 - v_0 = 0$.

Этот второй результат описывает лобовое упругое столкновение двух частиц одинаковой массы: они обмениваются скоростями. Таким образом, первый электрон, который был неподвижен, приобретет скорость $v_0$, а второй, который изначально двигался, после взаимодействия остановится.

Ответ: После взаимодействия электрон, который был первоначально неподвижен, будет двигаться со скоростью $1000$ км/с, а электрон, который приближался, остановится.