Номер 12.22, страница 70 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 12. Электростатика - номер 12.22, страница 70.

Условие.

12.22*. Два одноименных точечных заряда $q_1$ и $q_2$ с массами $m_1$ и $m_2$ движутся навстречу друг другу. Когда расстояние между ними равно $\text{r}$, их скорости равны $v_1$ и $v_2$. До какого минимального расстояния $r_{\min}$ сблизятся заряды?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Заряды: $q_1, q_2$ (одноименные, т.е. $q_1 q_2 > 0$)

Массы: $m_1, m_2$

Расстояние в начальный момент: $\text{r}$

Скорости в начальный момент: $v_1, v_2$ (направлены навстречу друг другу)

Найти:

Минимальное расстояние сближения: $r_{min}$

Решение:

Рассмотрим систему, состоящую из двух точечных зарядов. Поскольку на систему не действуют внешние силы (или их действием можно пренебречь), для нее выполняются законы сохранения импульса и полной механической энергии. Система является замкнутой и консервативной.

Заряды будут сближаться до тех пор, пока сила электростатического отталкивания не остановит их относительное движение. В момент максимального сближения, когда расстояние между ними будет минимальным ($r_{min}$), их относительная скорость станет равной нулю. Это означает, что в этот момент оба заряда будут двигаться как единое целое, с одинаковой скоростью $\text{u}$.

1. Применение закона сохранения импульса.

Выберем одномерную систему координат, ось которой проходит через оба заряда. Пусть в начальный момент заряд $q_1$ движется в положительном направлении оси со скоростью $v_1$, а заряд $q_2$ – в отрицательном направлении со скоростью $v_2$. Тогда проекции скоростей на эту ось равны $v_{1x} = v_1$ и $v_{2x} = -v_2$.

Суммарный импульс системы в начальный момент времени:

$P_{нач} = m_1 v_1 + m_2 (-v_2) = m_1 v_1 - m_2 v_2$

В момент максимального сближения оба заряда движутся с одинаковой скоростью $\text{u}$. Суммарный импульс системы в этот момент:

$P_{кон} = m_1 u + m_2 u = (m_1 + m_2) u$

Согласно закону сохранения импульса $P_{нач} = P_{кон}$:

$m_1 v_1 - m_2 v_2 = (m_1 + m_2) u$

Отсюда находим скорость $\text{u}$ в момент максимального сближения:

$u = \frac{m_1 v_1 - m_2 v_2}{m_1 + m_2}$

2. Применение закона сохранения энергии.

Полная механическая энергия системы складывается из кинетической энергии движения зарядов и потенциальной энергии их электростатического взаимодействия.

Полная энергия системы в начальный момент времени:

$E_{нач} = K_{нач} + U_{нач} = \frac{m_1 v_1^2}{2} + \frac{m_2 v_2^2}{2} + \frac{k q_1 q_2}{r}$

где $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$ – электростатическая постоянная.

Полная энергия системы в момент максимального сближения:

$E_{кон} = K_{кон} + U_{кон} = \frac{m_1 u^2}{2} + \frac{m_2 u^2}{2} + \frac{k q_1 q_2}{r_{min}} = \frac{(m_1 + m_2) u^2}{2} + \frac{k q_1 q_2}{r_{min}}$

Согласно закону сохранения энергии $E_{нач} = E_{кон}$:

$\frac{m_1 v_1^2}{2} + \frac{m_2 v_2^2}{2} + \frac{k q_1 q_2}{r} = \frac{(m_1 + m_2) u^2}{2} + \frac{k q_1 q_2}{r_{min}}$

Подставим в это уравнение ранее найденное выражение для скорости $\text{u}$:

$\frac{m_1 v_1^2}{2} + \frac{m_2 v_2^2}{2} + \frac{k q_1 q_2}{r} = \frac{(m_1 + m_2)}{2} \left( \frac{m_1 v_1 - m_2 v_2}{m_1 + m_2} \right)^2 + \frac{k q_1 q_2}{r_{min}}$

Выразим из уравнения член с $r_{min}$:

$\frac{k q_1 q_2}{r_{min}} = \frac{m_1 v_1^2 + m_2 v_2^2}{2} - \frac{(m_1 v_1 - m_2 v_2)^2}{2(m_1 + m_2)} + \frac{k q_1 q_2}{r}$

Упростим выражение для разности кинетических энергий, приведя его к общему знаменателю $2(m_1 + m_2)$:

$\frac{(m_1 v_1^2 + m_2 v_2^2)(m_1 + m_2) - (m_1^2 v_1^2 - 2m_1 m_2 v_1 v_2 + m_2^2 v_2^2)}{2(m_1 + m_2)} = $

$ = \frac{m_1^2 v_1^2 + m_1 m_2 v_1^2 + m_1 m_2 v_2^2 + m_2^2 v_2^2 - m_1^2 v_1^2 + 2m_1 m_2 v_1 v_2 - m_2^2 v_2^2}{2(m_1 + m_2)} = $

$ = \frac{m_1 m_2 v_1^2 + m_1 m_2 v_2^2 + 2m_1 m_2 v_1 v_2}{2(m_1 + m_2)} = \frac{m_1 m_2 (v_1^2 + 2v_1 v_2 + v_2^2)}{2(m_1 + m_2)} = \frac{m_1 m_2 (v_1 + v_2)^2}{2(m_1 + m_2)}$

Подставим полученное выражение обратно в уравнение для энергии:

$\frac{k q_1 q_2}{r_{min}} = \frac{m_1 m_2 (v_1 + v_2)^2}{2(m_1 + m_2)} + \frac{k q_1 q_2}{r}$

Теперь выразим $r_{min}$. Для этого сначала выразим $\frac{1}{r_{min}}$:

$\frac{1}{r_{min}} = \frac{1}{r} + \frac{m_1 m_2 (v_1 + v_2)^2}{2 k q_1 q_2 (m_1 + m_2)}$

Тогда минимальное расстояние сближения равно:

$r_{min} = \left(\frac{1}{r} + \frac{m_1 m_2 (v_1 + v_2)^2}{2 k q_1 q_2 (m_1 + m_2)}\right)^{-1}$

Ответ: Минимальное расстояние, на которое сблизятся заряды, определяется формулой: $r_{min} = \left(\frac{1}{r} + \frac{m_1 m_2 (v_1 + v_2)^2}{2 k q_1 q_2 (m_1 + m_2)}\right)^{-1}$, где $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$.