Номер 12.19, страница 70 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 12. Электростатика - номер 12.19, страница 70.

Условие.

12.19*. Три маленьких одинаково заряженных шарика массой $m = 4,0$ г каждый подвешены на шелковых нитях длиной $l = 1,0$ м. Верхние концы нитей закреплены в одной точке. Расстояние между любыми двумя шариками $a = 5,0$ см. Каков заряд $\text{q}$ каждого шарика?

Решение.

Решение 2.

Дано:

$m = 4,0 \text{ г} = 4,0 \cdot 10^{-3} \text{ кг}$
$l = 1,0 \text{ м}$
$a = 5,0 \text{ см} = 5,0 \cdot 10^{-2} \text{ м}$
$k = 9 \cdot 10^9 \text{ Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2$ (постоянная Кулона)
$g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$ (ускорение свободного падения)

Найти:

$\text{q}$

Решение:

В состоянии равновесия три шарика располагаются в вершинах равностороннего треугольника, лежащего в горизонтальной плоскости. На каждый шарик действуют три силы: сила тяжести $F_g = mg$, направленная вертикально вниз, сила натяжения нити $\text{T}$, направленная вдоль нити к точке подвеса, и результирующая сила кулоновского отталкивания $F_e$ со стороны двух других шариков, действующая в горизонтальной плоскости.

Результирующая сила Кулона $F_e$ является векторной суммой сил отталкивания $F_1$ и $F_2$ от двух других шариков. Величины этих сил равны: $F_1 = F_2 = k \frac{q^2}{a^2}$. Угол между векторами этих сил составляет $60^\circ$, так как шарики образуют равносторонний треугольник. По правилу параллелограмма, модуль результирующей силы равен:

$F_e = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2F_1 F_2 \cos(60^\circ)} = \sqrt{F^2 + F^2 + 2F^2 \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{3F^2} = F\sqrt{3}$

Таким образом, $F_e = k \frac{q^2}{a^2} \sqrt{3}$. Эта сила направлена горизонтально от центра треугольника.

Для равновесия шарика необходимо, чтобы векторная сумма всех сил была равна нулю. Разложим силу натяжения $\text{T}$ на вертикальную ($T_y$) и горизонтальную ($T_x$) составляющие. Пусть $\alpha$ — угол между нитью и вертикалью. Тогда:

$T_y = T \cos(\alpha)$

$T_x = T \sin(\alpha)$

Условия равновесия:

1. По вертикали: $T_y = F_g \Rightarrow T \cos(\alpha) = mg$

2. По горизонтали: $T_x = F_e \Rightarrow T \sin(\alpha) = F_e$

Разделив второе уравнение на первое, получим:

$\tan(\alpha) = \frac{F_e}{mg}$

Теперь найдем $\tan(\alpha)$ из геометрии системы. Расстояние $\text{R}$ от центра равностороннего треугольника до его вершины (местоположения шарика) равно $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$. Это расстояние является радиусом окружности, в которой лежат шарики. Из прямоугольного треугольника, образованного нитью длиной $\text{l}$, вертикалью и радиусом $\text{R}$, имеем:

$\sin(\alpha) = \frac{R}{l} = \frac{a}{l\sqrt{3}}$

Так как длина нити $\text{l}$ значительно больше расстояния между шариками $\text{a}$ ($1,0 \text{ м} \gg 0,05 \text{ м}$), угол $\alpha$ мал. В этом случае можно использовать приближение $\tan(\alpha) \approx \sin(\alpha)$.

$\tan(\alpha) \approx \frac{a}{l\sqrt{3}}$

Приравняем два выражения для $\tan(\alpha)$:

$\frac{F_e}{mg} = \frac{a}{l\sqrt{3}}$

Подставим выражение для $F_e$:

$\frac{k \frac{q^2}{a^2} \sqrt{3}}{mg} = \frac{a}{l\sqrt{3}}$

Выразим отсюда $q^2$:

$k q^2 \sqrt{3} \cdot l\sqrt{3} = mg a^3$

$3klq^2 = mga^3$

$q^2 = \frac{mga^3}{3kl}$

Теперь найдем заряд $\text{q}$:

$q = \sqrt{\frac{mga^3}{3kl}}$

Подставим числовые значения:

$q = \sqrt{\frac{4,0 \cdot 10^{-3} \text{ кг} \cdot 9,8 \text{ м/с}^2 \cdot (5,0 \cdot 10^{-2} \text{ м})^3}{3 \cdot 9 \cdot 10^9 \text{ Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2 \cdot 1,0 \text{ м}}} = \sqrt{\frac{4,0 \cdot 10^{-3} \cdot 9,8 \cdot 125 \cdot 10^{-6}}{27 \cdot 10^9}} = \sqrt{\frac{4,9 \cdot 10^{-6}}{2,7 \cdot 10^{10}}} \approx \sqrt{1,81 \cdot 10^{-16}} \approx 1,345 \cdot 10^{-8} \text{ Кл}$

С учетом значащих цифр исходных данных (две), округляем результат.

$q \approx 1,3 \cdot 10^{-8} \text{ Кл} = 13 \text{ нКл}$

Ответ: Заряд каждого шарика $q \approx 1,3 \cdot 10^{-8}$ Кл (или 13 нКл).