Номер 12.24, страница 70 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 12. Электростатика - номер 12.24, страница 70.

Условие.

12.24**. Два одинаковых металлических шарика радиусом $R = 1$ мм соединены длинным тонким проводом. Один из них размещен в разреженном воздухе, а другой — посередине большой вакуумной камеры. На расположенный в вакууме ша-рик падает с большого расстояния поток электронов с начальной скоростью $v_0 = 3000$ км/с. Какой заряд $\text{Q}$ можно накопить таким способом на шариках? Каким будет ответ, если увеличить начальную скорость электронов до $v_0' = 10 000$ км/с? Электрический пробой разреженного воздуха происходит при напряженности электрического поля $E_0 = 3 \cdot 10^4$ В/м.

Решение.

Решение 2.

Дано

$ R = 1 \text{ мм} = 10^{-3} \text{ м} $

$ v_0 = 3000 \text{ км/с} = 3 \cdot 10^6 \text{ м/с} $

$ v_0' = 10000 \text{ км/с} = 10^7 \text{ м/с} $

$ E_0 = 3 \cdot 10^4 \text{ В/м} $

Константы:

Заряд электрона $ e = 1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл} $

Масса электрона $ m_e = 9.11 \cdot 10^{-31} \text{ кг} $

Электрическая постоянная $ \epsilon_0 = 8.85 \cdot 10^{-12} \text{ Ф/м} $

Коэффициент в законе Кулона $ k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \approx 9 \cdot 10^9 \text{ Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2 $

Найти:

$\text{Q}$ - максимальный заряд при скорости $v_0$.

$Q'$ - максимальный заряд при скорости $v_0'$.

Решение

Два металлических шарика соединены проводом, поэтому они образуют единый проводник и имеют одинаковый электрический потенциал $ \phi $. Поскольку шарики одинаковы и находятся далеко друг от друга (соединены длинным проводом), накопленный электронами заряд $\text{Q}$ распределится между ними поровну: $ Q_1 = Q_2 = Q/2 $.

Ёмкость такой системы можно считать равной сумме ёмкостей двух уединённых шариков: $ C = C_1 + C_2 = 4\pi\epsilon_0 R + 4\pi\epsilon_0 R = 8\pi\epsilon_0 R $.

Тогда потенциал системы шариков равен $ \phi = \frac{Q}{C} = \frac{Q}{8\pi\epsilon_0 R} $.

Накопление заряда на шариках прекратится, когда выполнится одно из двух условий:

1. Потенциал шариков станет настолько большим (отрицательным), что будет отталкивать подлетающие электроны. Кинетическая энергия электронов будет полностью переходить в потенциальную энергию при подлёте к шарику. Предельный случай: $ \frac{m_e v_0^2}{2} = e|\phi| $.

2. Напряжённость электрического поля у поверхности шарика, находящегося в разреженном воздухе, достигнет пробивного значения $E_0$.

Рассмотрим оба случая.

Случай 1: Ограничение по энергии электронов

Из закона сохранения энергии для электрона: $ \frac{m_e v_0^2}{2} = e|\phi| = e \left| \frac{Q_v}{8\pi\epsilon_0 R} \right| $.

Отсюда максимальный заряд, ограниченный скоростью электронов, равен:

$ |Q_v| = \frac{8\pi\epsilon_0 R m_e v_0^2}{2e} = \frac{4\pi\epsilon_0 R m_e v_0^2}{e} = \frac{R m_e v_0^2}{k e} $

Случай 2: Ограничение по электрическому пробою

Напряжённость поля на поверхности шарика в воздухе с зарядом $ Q_1 = Q/2 $ равна $ E_1 = \frac{|Q_1|}{4\pi\epsilon_0 R^2} = \frac{|Q_E/2|}{4\pi\epsilon_0 R^2} $.

Пробой наступит, когда $E_1 = E_0$.

$ \frac{|Q_E|}{8\pi\epsilon_0 R^2} = E_0 $

Отсюда максимальный заряд, ограниченный пробоем, равен:

$ |Q_E| = 8\pi\epsilon_0 R^2 E_0 = \frac{2 R^2 E_0}{k} $

Реальный накопленный заряд будет определяться тем условием, которое наступит раньше, то есть $ |Q| = \min(|Q_v|, |Q_E|) $.

Какой заряд Q можно накопить таким способом на шариках?

Рассчитаем предельные заряды для $ v_0 = 3 \cdot 10^6 $ м/с.

$ |Q_v| = \frac{10^{-3} \text{ м} \cdot 9.11 \cdot 10^{-31} \text{ кг} \cdot (3 \cdot 10^6 \text{ м/с})^2}{9 \cdot 10^9 \text{ Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2 \cdot 1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}} = \frac{9.11 \cdot 10^{-31} \cdot 9 \cdot 10^{12}}{1.44 \cdot 10^{-9}} \cdot \frac{10^{-3}}{1} \text{ Кл} \approx 5.7 \cdot 10^{-13} \text{ Кл} $.

$ |Q_E| = \frac{2 \cdot (10^{-3} \text{ м})^2 \cdot 3 \cdot 10^4 \text{ В/м}}{9 \cdot 10^9 \text{ Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2} = \frac{6 \cdot 10^{-2}}{9 \cdot 10^9} \text{ Кл} \approx 6.7 \cdot 10^{-12} \text{ Кл} $.

Сравнивая значения, видим, что $ |Q_v| < |Q_E| $. Следовательно, накопление заряда прекратится из-за отталкивания электронов. Поскольку электроны имеют отрицательный заряд, накопленный заряд будет отрицательным.

Ответ: Максимальный заряд, который можно накопить на шариках, равен $ Q = -|Q_v| \approx -5.7 \cdot 10^{-13} \text{ Кл} $.

Каким будет ответ, если увеличить начальную скорость электронов до v₀′ = 10 000 км/с?

Теперь $ v_0' = 10^7 $ м/с. Величина заряда, ограниченного электрическим пробоем, $ |Q_E| $, не изменится, так как она не зависит от скорости электронов: $ |Q_E| \approx 6.7 \cdot 10^{-12} \text{ Кл} $.

Пересчитаем заряд, ограниченный энергией электронов, для новой скорости:

$ |Q_v'| = \frac{R m_e (v_0')^2}{k e} = \frac{10^{-3} \text{ м} \cdot 9.11 \cdot 10^{-31} \text{ кг} \cdot (10^7 \text{ м/с})^2}{9 \cdot 10^9 \text{ Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2 \cdot 1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}} = \frac{9.11 \cdot 10^{-31} \cdot 10^{14}}{1.44 \cdot 10^{-9}} \cdot \frac{10^{-3}}{1} \text{ Кл} \approx 6.3 \cdot 10^{-11} \text{ Кл} $.

Теперь сравним $ |Q_v'| $ и $ |Q_E| $: $ 6.3 \cdot 10^{-11} \text{ Кл} > 6.7 \cdot 10^{-12} \text{ Кл} $, то есть $ |Q_v'| > |Q_E| $.

В этом случае накопление заряда будет ограничено электрическим пробоем воздуха вокруг первого шарика. Процесс остановится, когда заряд достигнет значения $ |Q_E| $.

Ответ: При увеличенной скорости электронов максимальный заряд будет равен $ Q' = -|Q_E| \approx -6.7 \cdot 10^{-12} \text{ Кл} $.