Номер 12.31, страница 71 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 12. Электростатика - номер 12.31, страница 71.

Условие.

12.31*. Заряд $\text{Q}$ равномерно распределен по объему непроводящего шара радиусом $\text{R}$. Чему равна напряженность поля $\text{E}$ на расстоянии $\text{r}$ от центра шара? Постройте график зависимости $E(r)$.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Непроводящий шар
Радиус шара: $\text{R}$
Общий заряд: $\text{Q}$
Распределение заряда: равномерное по объему
Среда: вакуум (электрическая постоянная $\varepsilon_0$)

Найти:

Напряженность электрического поля $\text{E}$ как функцию расстояния $\text{r}$ от центра шара – $E(r)$.
Построить график зависимости $E(r)$.

Решение:

Чему равна напряженность поля E на расстоянии r от центра шара?

Для решения задачи воспользуемся теоремой Гаусса для электрического поля, поскольку задача обладает сферической симметрией. Теорема Гаусса гласит, что поток вектора напряженности электрического поля через любую замкнутую поверхность (поверхность Гаусса) пропорционален полному заряду, заключенному внутри этой поверхности:

$\oint_S \vec{E} \cdot d\vec{S} = \frac{Q_{вн}}{\varepsilon_0}$

В силу сферической симметрии вектор напряженности $\vec{E}$ в любой точке на расстоянии $\text{r}$ от центра направлен радиально, и его модуль $\text{E}$ зависит только от $\text{r}$. В качестве гауссовой поверхности удобно выбрать сферу радиусом $\text{r}$ с центром, совпадающим с центром заряженного шара. Тогда поток вектора напряженности через эту поверхность равен $E \cdot 4\pi r^2$.

Так как заряд распределен равномерно по объему, введем объемную плотность заряда $\rho$:

$\rho = \frac{Q}{V} = \frac{Q}{\frac{4}{3}\pi R^3}$

Рассмотрим два случая для нахождения напряженности поля.

1. Напряженность поля внутри шара ($r \le R$)

Выберем гауссову поверхность в виде сферы радиусом $r \le R$. Заряд $Q_{вн}$, заключенный внутри этой поверхности, равен произведению плотности заряда на объем этой сферы:

$Q_{вн} = \rho \cdot V_r = \left(\frac{Q}{\frac{4}{3}\pi R^3}\right) \cdot \left(\frac{4}{3}\pi r^3\right) = Q \frac{r^3}{R^3}$

Применим теорему Гаусса:

$E \cdot 4\pi r^2 = \frac{Q_{вн}}{\varepsilon_0} = \frac{1}{\varepsilon_0} Q \frac{r^3}{R^3}$

Отсюда выражаем напряженность поля $\text{E}$ для точек внутри шара:

$E(r) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q r}{R^3}$

Внутри шара напряженность поля линейно возрастает с увеличением расстояния от центра.

2. Напряженность поля вне шара ($r > R$)

Выберем гауссову поверхность в виде сферы радиусом $r > R$. Эта поверхность окружает весь заряженный шар, поэтому заряд внутри нее равен полному заряду шара $\text{Q}$:

$Q_{вн} = Q$

Применим теорему Гаусса:

$E \cdot 4\pi r^2 = \frac{Q}{\varepsilon_0}$

Выражаем напряженность поля $\text{E}$ для точек вне шара:

$E(r) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q}{r^2}$

Вне шара напряженность поля убывает обратно пропорционально квадрату расстояния от центра, так же как и поле точечного заряда $\text{Q}$, помещенного в центр.

На границе шара при $r=R$ обе формулы дают одинаковое максимальное значение напряженности:$E_{max} = E(R) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q}{R^2}$

Ответ: Напряженность поля $\text{E}$ на расстоянии $\text{r}$ от центра шара определяется формулами:
- для $r \le R$: $E(r) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q r}{R^3}$
- для $r > R$: $E(r) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q}{r^2}$

Постройте график зависимости E(r).

График зависимости напряженности поля $\text{E}$ от расстояния $\text{r}$ от центра шара состоит из двух участков:
1. При $0 \le r \le R$ зависимость $E(r)$ линейная. График представляет собой прямую линию, выходящую из начала координат $(0, 0)$ и достигающую максимального значения $E_{max} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q}{R^2}$ в точке $r=R$.
2. При $r > R$ зависимость $E(r)$ является обратно-квадратичной. График представляет собой кривую, которая начинается от значения $E_{max}$ при $r=R$ и асимптотически стремится к нулю при $r \to \infty$.

Ответ: График зависимости $E(r)$ представлен на рисунке выше. Он показывает линейный рост напряженности от центра до поверхности шара, где она достигает максимума, и последующее убывание по закону обратных квадратов вне шара.