Номер 12.27, страница 71 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 12. Электростатика - номер 12.27, страница 71.

Условие.

12.27*. Тонкое проволочное кольцо радиусом $\text{R}$ несет на себе электрический заряд $\text{q}$. В центре кольца расположен одноименный с $\text{q}$ заряд $\text{Q}$, причем $|Q| \gg |q|$. Определите силу $\text{T}$, с которой растянуто кольцо.

Решение.

Решение 2.

Дано

Радиус тонкого проволочного кольца: $\text{R}$

Электрический заряд кольца: $\text{q}$

Электрический заряд в центре кольца: $\text{Q}$

Заряды $\text{q}$ и $\text{Q}$ одноименные (имеют одинаковый знак)

Условие: $|Q| \gg |q|$

Все данные представлены в буквенном виде и соответствуют системе СИ.

Найти:

Силу натяжения кольца $\text{T}$.

Решение

Кольцо растягивается под действием сил электростатического отталкивания. Эти силы возникают из-за взаимодействия заряда кольца $\text{q}$ с центральным зарядом $\text{Q}$ и из-за взаимного отталкивания элементарных зарядов самого кольца.

Согласно условию задачи, $|Q| \gg |q|$. Это означает, что сила отталкивания, действующая на каждый элемент кольца со стороны центрального заряда $\text{Q}$, значительно превосходит силу отталкивания со стороны других элементов самого кольца. Поэтому, для нахождения силы натяжения мы можем пренебречь взаимным отталкиванием зарядов на кольце и рассматривать только взаимодействие с центральным зарядом $\text{Q}$.

Заряд $\text{q}$ равномерно распределен по длине кольца $L = 2\pi R$. Линейная плотность заряда кольца равна:

$\lambda = \frac{q}{L} = \frac{q}{2\pi R}$

Рассмотрим малый элемент кольца длиной $\text{dl}$. Заряд этого элемента равен $dq = \lambda dl$.

Согласно закону Кулона, на этот элемент со стороны центрального заряда $\text{Q}$ действует сила отталкивания $\text{dF}$, направленная радиально от центра:

$dF = k \frac{Q dq}{R^2} = k \frac{Q (\lambda dl)}{R^2}$

где $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$ – электростатическая постоянная.

Эта радиально направленная сила уравновешивается силой натяжения кольца $\text{T}$. Рассмотрим равновесие малого элемента кольца в виде дуги, стягивающей малый центральный угол $d\alpha$. Длина этой дуги $dl = R d\alpha$.

К концам этой дуги приложены силы натяжения $\text{T}$, направленные по касательной. Проекция этих двух сил на радиальное направление (в сторону центра) равна $2T \sin(\frac{d\alpha}{2})$.

Для малого угла $d\alpha$ можно считать, что $\sin(\frac{d\alpha}{2}) \approx \frac{d\alpha}{2}$. Тогда суммарная сила, стягивающая элемент дуги к центру, равна:

$F_{натяж} = 2T \frac{d\alpha}{2} = T d\alpha$

В состоянии равновесия эта сила уравновешивает силу отталкивания $\text{dF}$:

$T d\alpha = dF$

Подставим выражение для $\text{dF}$, заменив $\text{dl}$ на $R d\alpha$:

$T d\alpha = k \frac{Q \lambda (R d\alpha)}{R^2} = k \frac{Q \lambda}{R} d\alpha$

Сократив $d\alpha$, получим выражение для силы натяжения:

$T = k \frac{Q \lambda}{R}$

Теперь подставим выражение для линейной плотности заряда $\lambda = \frac{q}{2\pi R}$:

$T = k \frac{Q}{R} \left( \frac{q}{2\pi R} \right) = \frac{kQq}{2\pi R^2}$

Выражая константу $\text{k}$ через диэлектрическую проницаемость вакуума $\epsilon_0$ ($k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$), получаем окончательную формулу:

$T = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Qq}{2\pi R^2} = \frac{Qq}{8\pi^2\epsilon_0 R^2}$

Ответ: $T = \frac{Qq}{8\pi^2\epsilon_0 R^2}$.