Номер 12.20, страница 70 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 12. Электростатика - номер 12.20, страница 70.

Условие.

12.20. Два электрона, находящиеся в начальный момент далеко друг от друга, движутся навстречу вдоль одной прямой с одинаковыми по модулю скоростями $v_0 = 1000 \text{ км/с}$. На какое наименьшее расстояние они сблизятся?

Решение.

Решение 2.

Дано

Начальная скорость электронов, $v_0 = 1000$ км/с

Масса электрона, $m_e \approx 9.11 \cdot 10^{-31}$ кг

Заряд электрона, $e \approx 1.6 \cdot 10^{-19}$ Кл

Коэффициент в законе Кулона, $k \approx 9 \cdot 10^9$ Н·м²/Кл²

Перевод в систему СИ:

$v_0 = 1000 \text{ км/с} = 1000 \cdot 10^3 \text{ м/с} = 10^6$ м/с

Найти:

Наименьшее расстояние сближения, $r_{min}$

Решение

Рассмотрим систему из двух электронов. Поскольку электроны движутся только под действием силы электростатического отталкивания (внутренней силы системы), то для этой системы выполняется закон сохранения полной механической энергии.

Полная энергия системы складывается из кинетической и потенциальной энергий.

В начальный момент времени, когда электроны находятся далеко друг от друга ($r \rightarrow \infty$), их потенциальная энергия электростатического взаимодействия равна нулю ($U_1 = 0$). Полная начальная энергия системы равна сумме кинетических энергий двух электронов:

$E_1 = K_1 + U_1 = \frac{m_e v_0^2}{2} + \frac{m_e v_0^2}{2} + 0 = m_e v_0^2$

В момент наибольшего сближения на расстояние $r_{min}$ электроны остановятся. Это следует из закона сохранения импульса: начальный импульс системы равен нулю ($m_e \vec{v_0} + m_e (-\vec{v_0}) = 0$), значит, и в момент наибольшего сближения, когда скорости электронов станут одинаковыми, их суммарный импульс должен быть равен нулю, что возможно только если их скорости равны нулю. Следовательно, кинетическая энергия системы в этот момент также будет равна нулю ($K_2 = 0$).

Полная энергия системы в этот момент будет равна их потенциальной энергии электростатического взаимодействия:

$E_2 = K_2 + U_2 = 0 + k \frac{e \cdot e}{r_{min}} = k \frac{e^2}{r_{min}}$

Согласно закону сохранения энергии, полная начальная энергия системы равна полной конечной энергии:

$E_1 = E_2$

$m_e v_0^2 = k \frac{e^2}{r_{min}}$

Отсюда выразим наименьшее расстояние сближения $r_{min}$:

$r_{min} = \frac{k e^2}{m_e v_0^2}$

Подставим числовые значения и произведем расчет:

$r_{min} = \frac{(9 \cdot 10^9 \ \mathrm{Н \cdot м²/Кл²}) \cdot (1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл})^2}{(9.11 \cdot 10^{-31} \text{ кг}) \cdot (10^6 \text{ м/с})^2} = \frac{9 \cdot 10^9 \cdot 2.56 \cdot 10^{-38}}{9.11 \cdot 10^{-31} \cdot 10^{12}} = \frac{23.04 \cdot 10^{-29}}{9.11 \cdot 10^{-19}} \approx 2.53 \cdot 10^{-10}$ м

Ответ: Наименьшее расстояние, на которое сблизятся электроны, составляет примерно $2.53 \cdot 10^{-10}$ м.