Номер 12.13, страница 69 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 12. Электростатика - номер 12.13, страница 69.

Условие.

12.13*. Три одинаковых положительных заряда $\text{q}$ расположены в вершинах равностороннего треугольника со стороной $\text{a}$. Определите величину напряженности поля $\text{E}$ в точке $\text{A}$, лежащей на расстоянии $\text{a}$ от каждого из зарядов.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Заряды: $q_1 = q_2 = q_3 = q$ ($q>0$)
Сторона треугольника: $\text{a}$
Расстояние от каждого заряда до точки А: $r_{1A} = r_{2A} = r_{3A} = a$

Найти:

Напряженность поля в точке А: $\text{E}$

Решение:

Три заряда расположены в вершинах равностороннего треугольника со стороной $\text{a}$. Точка А, в которой нужно найти напряженность поля, равноудалена от всех трех зарядов на расстояние $\text{a}$. Таким образом, три заряда и точка А образуют вершины правильного тетраэдра, у которого все ребра равны $\text{a}$.

Согласно принципу суперпозиции, напряженность электрического поля в точке А равна векторной сумме напряженностей полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности:

$\vec{E} = \vec{E_1} + \vec{E_2} + \vec{E_3}$

Так как все заряды одинаковы ($\text{q}$) и находятся на одинаковом расстоянии ($\text{a}$) от точки А, модули напряженностей полей, создаваемых каждым зарядом, равны:

$E_1 = E_2 = E_3 = E_0 = k \frac{q}{a^2}$, где $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$ – коэффициент пропорциональности в законе Кулона.

Векторы напряженности $\vec{E_1}$, $\vec{E_2}$ и $\vec{E_3}$ направлены от зарядов к точке А вдоль ребер тетраэдра. В силу симметрии задачи, результирующий вектор напряженности $\vec{E}$ будет направлен перпендикулярно плоскости, в которой лежат заряды, вдоль высоты тетраэдра, опущенной из вершины А на основание (равносторонний треугольник).

Модуль результирующего вектора $\text{E}$ равен сумме проекций векторов $\vec{E_1}$, $\vec{E_2}$ и $\vec{E_3}$ на направление высоты тетраэдра. Угол $\theta$ между каждым из векторов напряженности и высотой тетраэдра одинаков.

$E = E_1 \cos\theta + E_2 \cos\theta + E_3 \cos\theta = 3 E_0 \cos\theta$

Найдем косинус угла $\theta$. Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный вершиной А, центром основания тетраэдра О и одной из вершин основания (например, той, где находится заряд $q_1$). Гипотенуза этого треугольника – ребро тетраэдра, равное $\text{a}$. Один катет – это высота тетраэдра $\text{h}$, а второй катет – расстояние $\text{R}$ от центра равностороннего треугольника (основания) до его вершины.

Расстояние $\text{R}$ от центра равностороннего треугольника со стороной $\text{a}$ до вершины равно:

$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Высоту тетраэдра $\text{h}$ найдем по теореме Пифагора:

$a^2 = h^2 + R^2$

$h^2 = a^2 - R^2 = a^2 - (\frac{a}{\sqrt{3}})^2 = a^2 - \frac{a^2}{3} = \frac{2a^2}{3}$

$h = a\sqrt{\frac{2}{3}}$

Угол $\theta$ – это угол между ребром $\text{a}$ (гипотенузой) и высотой $\text{h}$ (прилежащим катетом). Следовательно, его косинус равен:

$\cos\theta = \frac{h}{a} = \frac{a\sqrt{2/3}}{a} = \sqrt{\frac{2}{3}}$

Теперь можем найти модуль результирующей напряженности поля:

$E = 3 E_0 \cos\theta = 3 \cdot (k \frac{q}{a^2}) \cdot \sqrt{\frac{2}{3}} = 3 \frac{kq}{a^2} \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}\sqrt{2} \frac{kq}{a^2} = \sqrt{6} \frac{kq}{a^2}$

Также можно выразить через электрическую постоянную $\epsilon_0$:

$E = \frac{\sqrt{6}q}{4\pi\epsilon_0 a^2}$

Ответ: $E = k \frac{q\sqrt{6}}{a^2}$