Номер 12.7, страница 68 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 12. Электростатика - номер 12.7, страница 68.

Условие.

12.7. Решите задачу 12.6, заменив в условии заряд $-4q$ на $\text{4q}$.

Решение.

Решение 2.

Поскольку условие задачи 12.7 отсылает к задаче 12.6, которой нет в предоставленном изображении, будем исходить из наиболее вероятного условия для задачи 12.6: "Два точечных заряда q и -4q находятся на расстоянии l друг от друга. Определите, в какой точке на прямой, проходящей через заряды, напряженность электрического поля равна нулю."

Тогда, согласно условию задачи 12.7, мы заменяем заряд -4q на 4q. Новое условие будет звучать так: "Два точечных заряда q и 4q находятся на расстоянии l друг от друга. Определите, в какой точке на прямой, проходящей через заряды, напряженность электрического поля равна нулю."

Дано:

$q_1 = q$
$q_2 = 4q$
$\text{l}$ - расстояние между зарядами.

Найти:

$\text{x}$ - координату точки, в которой напряженность суммарного электрического поля равна нулю.

Решение:

Разместим заряды на оси Ox. Пусть заряд $q_1 = q$ находится в начале координат ($x_1 = 0$), а заряд $q_2 = 4q$ — в точке с координатой $x_2 = l$.

Напряженность электрического поля, создаваемого точечным зарядом, определяется по формуле:

$E = k \frac{|Q|}{r^2}$

где $\text{k}$ — коэффициент пропорциональности в законе Кулона, $\text{Q}$ — величина заряда, $\text{r}$ — расстояние от заряда до точки, в которой измеряется поле.

По принципу суперпозиции полей, результирующая напряженность в любой точке является векторной суммой напряженностей полей, создаваемых каждым зарядом: $\vec{E}_{сум} = \vec{E_1} + \vec{E_2}$.

Условие равенства нулю напряженности поля: $\vec{E}_{сум} = 0$, что эквивалентно $\vec{E_1} = -\vec{E_2}$. Это означает, что векторы напряженности $\vec{E_1}$ и $\vec{E_2}$ должны быть равны по модулю и противоположны по направлению.

Поскольку оба заряда ($\text{q}$ и $\text{4q}$) положительны, векторы напряженности, создаваемые ими, будут направлены от зарядов. Для того чтобы векторы $\vec{E_1}$ и $\vec{E_2}$ были противоположно направлены, искомая точка должна находиться на отрезке, соединяющем заряды. Рассмотрим возможные положения точки на прямой, проходящей через заряды.

1. Точка находится между зарядами ($0 < x < l$).
В этом случае вектор $\vec{E_1}$ (от заряда $q_1$) направлен вправо (вдоль оси Ox), а вектор $\vec{E_2}$ (от заряда $q_2$) направлен влево (против оси Ox). Направления векторов противоположны, поэтому их сумма может быть равна нулю. Запишем условие равенства их модулей:

$|E_1| = |E_2|$

$k \frac{|q_1|}{x^2} = k \frac{|q_2|}{(l-x)^2}$

где $\text{x}$ — расстояние от заряда $q_1$, а $(l-x)$ — расстояние от заряда $q_2$.

$k \frac{q}{x^2} = k \frac{4q}{(l-x)^2}$

Сократив $\text{k}$ и $\text{q}$ (при $q \neq 0$), получим:

$\frac{1}{x^2} = \frac{4}{(l-x)^2}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения (поскольку расстояния $\text{x}$ и $l-x$ положительны):

$\frac{1}{x} = \frac{2}{l-x}$

Решим это уравнение относительно $\text{x}$:

$l - x = 2x$
$3x = l$
$x = \frac{l}{3}$
Это значение удовлетворяет условию $0 < x < l$, следовательно, является решением.

2. Точка находится левее заряда $q_1$ ($x < 0$).
В этом случае вектор $\vec{E_1}$ и вектор $\vec{E_2}$ направлены влево. Так как векторы сонаправлены, их сумма не может быть равна нулю.

3. Точка находится правее заряда $q_2$ ($x > l$).
В этом случае вектор $\vec{E_1}$ и вектор $\vec{E_2}$ направлены вправо. Векторы сонаправлены, и их сумма не может быть равна нулю.

Таким образом, существует только одна точка на прямой, проходящей через заряды, где напряженность поля равна нулю. Эта точка находится на расстоянии $\frac{l}{3}$ от заряда $\text{q}$ и на расстоянии $l - \frac{l}{3} = \frac{2l}{3}$ от заряда $\text{4q}$.

Ответ: напряженность электрического поля равна нулю в точке, расположенной на прямой между зарядами на расстоянии $\frac{l}{3}$ от заряда $\text{q}$.