Номер 11.42, страница 67 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Молекулярная физика. 11. Законы термодинамики - номер 11.42, страница 67.

Условие.

11.42**. КПД цикла 1-2-3-1 (см. рисунок) равен $ \eta_1 $, а КПД цикла 1-3-4-1 равен $ \eta_2 $. Найдите КПД $ \eta $ цикла 1-2-3-4-1.

К задаче 11.42

Решение.

Решение 2.

Дано:

КПД цикла 1-2-3-1 равен $η_1$.

КПД цикла 1-3-4-1 равен $η_2$.

Найти:

КПД цикла 1-2-3-4-1, $η$.

Решение:

Коэффициент полезного действия (КПД) теплового двигателя определяется по формуле $η = \frac{A}{Q_h}$, где $\text{A}$ — полезная работа за цикл, а $Q_h$ — количество теплоты, полученное от нагревателя.

Рассмотрим три цикла, упомянутых в задаче:

1. Цикл 1-2-3-1. Это прямой цикл (по часовой стрелке), работа $A_1$ положительна. Его КПД:

$η_1 = \frac{A_1}{Q_{h1}}$

где $A_1$ — работа в цикле 1-2-3-1, а $Q_{h1}$ — теплота, полученная в этом цикле.

2. Цикл 1-3-4-1. Это обратный цикл (против часовой стрелки), работа $A_2$ отрицательна. Под его КПД $η_2$ будем понимать КПД соответствующего прямого цикла 1-4-3-1. Обозначим работу в этом прямом цикле как $A'_2 = -A_2 > 0$. Тогда:

$η_2 = \frac{A'_2}{Q_{h2}}$

где $Q_{h2}$ — теплота, полученная в цикле 1-4-3-1.

3. Цикл 1-2-3-4-1. Это результирующий прямой цикл. Его работа $\text{A}$ равна алгебраической сумме работ составляющих циклов: $A = A_1 + A_2 = A_1 - A'_2$. Его КПД:

$η = \frac{A}{Q_h}$

где $Q_h$ — теплота, полученная в цикле 1-2-3-4-1.

Проанализируем теплообмен в циклах. Теплота подводится к рабочему телу, когда его объем увеличивается и/или температура растет. Судя по графику, на участках 1→2 и 2→3 давление $\text{p}$ и объем $\text{V}$ растут, следовательно, температура растет и совершается положительная работа, поэтому теплота подводится. На участках 3→4 и 4→1 давление и объем уменьшаются, поэтому теплота отводится.

Таким образом, для цикла 1-2-3-4-1 полученная от нагревателя теплота $Q_h = Q_{1→2} + Q_{2→3}$.

Для цикла 1-2-3-1 теплота также подводится на участках 1→2 и 2→3. Следовательно, $Q_{h1} = Q_{1→2} + Q_{2→3} = Q_h$.

Теперь выразим КПД результирующего цикла:

$η = \frac{A_1 - A'_2}{Q_{h1}} = \frac{A_1}{Q_{h1}} - \frac{A'_2}{Q_{h1}} = η_1 - \frac{A'_2}{Q_{h1}}$

Рассмотрим процесс отвода теплоты. Для цикла 1-2-3-1 теплота отводится на участке 3-1. Обозначим отданную холодильнику теплоту $Q_c = |Q_{3→1}| = -Q_{3→1}$.

Тогда по первому закону термодинамики для цикла, работа $A_1 = Q_{h1} - Q_c$.

Из определения $η_1$: $η_1 = \frac{Q_{h1} - Q_c}{Q_{h1}} = 1 - \frac{Q_c}{Q_{h1}}$. Отсюда $Q_{h1} = \frac{Q_c}{1 - η_1}$.

Для прямого цикла 1-4-3-1 теплота подводится на участках 1→4 и 4→3 ($Q_{h2} = Q_{1→4} + Q_{4→3}$), а отводится на том же участке 3-1. Количество отданной теплоты также равно $Q_c$.

Тогда работа $A'_2 = Q_{h2} - Q_c$.

Из определения $η_2$: $η_2 = \frac{Q_{h2} - Q_c}{Q_{h2}} = 1 - \frac{Q_c}{Q_{h2}}$. Отсюда $Q_{h2} = \frac{Q_c}{1 - η_2}$.

Теперь вернемся к выражению для $η$. Нам нужно найти отношение $\frac{A'_2}{Q_{h1}}$.

$A'_2 = η_2 Q_{h2} = η_2 \frac{Q_c}{1 - η_2}$.

$Q_{h1} = \frac{Q_c}{1 - η_1}$.

Тогда $\frac{A'_2}{Q_{h1}} = \frac{η_2 \frac{Q_c}{1 - η_2}}{\frac{Q_c}{1 - η_1}} = \frac{η_2 (1 - η_1)}{1 - η_2}$.

Подставим это в формулу для $η$:

$η = η_1 - \frac{η_2 (1 - η_1)}{1 - η_2}$

Приведем к общему знаменателю:

$η = \frac{η_1(1 - η_2) - η_2(1 - η_1)}{1 - η_2} = \frac{η_1 - η_1η_2 - η_2 + η_1η_2}{1 - η_2} = \frac{η_1 - η_2}{1 - η_2}$

Этот результат получен в предположении, что результирующий цикл 1-2-3-4-1 является прямым (совершает положительную работу), что эквивалентно условию $A_1 > A'_2$, которое, в свою очередь, приводит к условию $η_1 > η_2$.

Ответ: $η = \frac{η_1 - η_2}{1 - η_2}$.