Номер 11.41, страница 67 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Молекулярная физика. 11. Законы термодинамики - номер 11.41, страница 67.

Условие.

11.41**. Найдите КПД тепловой машины, график цикла которой показан на рисунке. Рабочим телом является одноатомный идеальный газ.

К задаче 11.41

Решение.

Решение 2.

Дано:

Циклический процесс 1-2-3-1.

Рабочее тело – одноатомный идеальный газ ($i=3$).

Параметры в состояниях:

1: $p_1 = p_0$, $V_1 = V_0$

2: $p_2 = 4p_0$, $V_2 = 4V_0$

3: $p_3 = p_0$, $V_3 = 4V_0$

Найти:

КПД тепловой машины, $η$.

Решение:

Коэффициент полезного действия (КПД) тепловой машины определяется по формуле:

$η = \frac{A_{цикла}}{Q_{нагр}}$

где $A_{цикла}$ — работа, совершённая газом за цикл, а $Q_{нагр}$ — количество теплоты, полученное газом от нагревателя за цикл.

1. Найдём работу газа за цикл ($A_{цикла}$).

Работа, совершённая газом за цикл, численно равна площади фигуры, ограниченной графиком цикла в координатах p-V. В данном случае это площадь прямоугольного треугольника с вершинами в точках 1, 3 и 2.

Основание треугольника: $\Delta V = V_3 - V_1 = 4V_0 - V_0 = 3V_0$.

Высота треугольника: $\Delta p = p_2 - p_3 = 4p_0 - p_0 = 3p_0$.

Площадь треугольника (работа за цикл):

$A_{цикла} = \frac{1}{2} \Delta p \Delta V = \frac{1}{2} (3p_0)(3V_0) = \frac{9}{2} p_0 V_0$.

2. Найдём количество теплоты, полученное газом от нагревателя ($Q_{нагр}$).

Для этого проанализируем каждый процесс цикла с помощью первого закона термодинамики: $Q = \Delta U + A$. Газ получает теплоту, когда $Q > 0$.

Изменение внутренней энергии для одноатомного идеального газа ($i=3$) равно: $\Delta U = \frac{3}{2} \nu R \Delta T = \frac{3}{2} \Delta(pV)$.

Процесс 1-2:

Изменение внутренней энергии:

$\Delta U_{12} = \frac{3}{2} (p_2 V_2 - p_1 V_1) = \frac{3}{2} (4p_0 \cdot 4V_0 - p_0 V_0) = \frac{3}{2} (16p_0 V_0 - p_0 V_0) = \frac{3}{2} \cdot 15p_0 V_0 = \frac{45}{2} p_0 V_0$.

Работа газа $A_{12}$ равна площади трапеции под графиком 1-2:

$A_{12} = \frac{p_1 + p_2}{2} (V_2 - V_1) = \frac{p_0 + 4p_0}{2} (4V_0 - V_0) = \frac{5p_0}{2} \cdot 3V_0 = \frac{15}{2} p_0 V_0$.

Количество теплоты в процессе 1-2:

$Q_{12} = \Delta U_{12} + A_{12} = \frac{45}{2} p_0 V_0 + \frac{15}{2} p_0 V_0 = \frac{60}{2} p_0 V_0 = 30 p_0 V_0$.

Так как $Q_{12} > 0$, на этом участке газ получает теплоту.

Процесс 2-3: Изохорное охлаждение ($V = const$).

Работа газа $A_{23} = 0$, так как объём не меняется.

Количество теплоты $Q_{23} = \Delta U_{23} = \frac{3}{2} (p_3 V_3 - p_2 V_2) = \frac{3}{2} (p_0 \cdot 4V_0 - 4p_0 \cdot 4V_0) = \frac{3}{2} (4p_0 V_0 - 16p_0 V_0) = \frac{3}{2}(-12p_0 V_0) = -18 p_0 V_0$.

Так как $Q_{23} < 0$, на этом участке газ отдаёт теплоту.

Процесс 3-1: Изобарное сжатие ($p = const$).

Работа газа: $A_{31} = p_1 (V_1 - V_3) = p_0 (V_0 - 4V_0) = -3 p_0 V_0$.

Изменение внутренней энергии: $\Delta U_{31} = \frac{3}{2} (p_1 V_1 - p_3 V_3) = \frac{3}{2} (p_0 V_0 - p_0 \cdot 4V_0) = \frac{3}{2}(-3p_0 V_0) = -\frac{9}{2} p_0 V_0$.

Количество теплоты в процессе 3-1: $Q_{31} = \Delta U_{31} + A_{31} = -\frac{9}{2} p_0 V_0 - 3 p_0 V_0 = -\frac{15}{2} p_0 V_0$.

Так как $Q_{31} < 0$, на этом участке газ также отдаёт теплоту.

Суммарное количество теплоты, полученное от нагревателя, равно $Q_{12}$, так как только в этом процессе газ получал тепло.

$Q_{нагр} = Q_{12} = 30 p_0 V_0$.

3. Вычислим КПД.

$η = \frac{A_{цикла}}{Q_{нагр}} = \frac{\frac{9}{2} p_0 V_0}{30 p_0 V_0} = \frac{9}{2 \cdot 30} = \frac{9}{60} = \frac{3}{20}$.

Переводя в проценты: $η = \frac{3}{20} \cdot 100\% = 15\%$.

Ответ: КПД тепловой машины равен $0,15$ или $15\%$.