Номер 12.4, страница 68 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 12. Электростатика - номер 12.4, страница 68.

Условие.

12.4*. После того, как два маленьких заряженных ме-таллических шарика привели в соприкосновение и раздвинулина прежнее расстояние, сила их кулоновского взаимодействияувеличилась в $n = 4/3$ раза. Одноименными или разноименнымибыли первоначально заряды $q_1$ и $q_2$ на шариках? Во сколько разони отличались по модулю? Радиусы шариков равны.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Отношение конечной силы к начальной $n = \frac{F_2}{F_1} = \frac{4}{3}$

Радиусы шариков одинаковы.

Найти:

1. Были ли заряды $q_1$ и $q_2$ одноименными или разноименными?

2. Во сколько раз отличались их модули?

Решение:

Пусть первоначальные заряды шариков были $q_1$ и $q_2$, а расстояние между ними $\text{r}$. Сила их кулоновского взаимодействия до соприкосновения определяется законом Кулона:

$F_1 = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2}$

где $\text{k}$ — коэффициент пропорциональности.

Так как шарики металлические и их радиусы равны, то после соприкосновения их суммарный заряд $q_{общ} = q_1 + q_2$ распределится между ними поровну. Заряд каждого шарика станет равен:

$q' = \frac{q_1 + q_2}{2}$

После того, как шарики раздвинули на прежнее расстояние $\text{r}$, сила взаимодействия между ними стала равна:

$F_2 = k \frac{|q' \cdot q'|}{r^2} = k \frac{(\frac{q_1 + q_2}{2})^2}{r^2} = k \frac{(q_1 + q_2)^2}{4r^2}$

Из условия задачи известно, что $F_2 = n F_1$, где $n = 4/3$. Составим отношение сил:

$\frac{F_2}{F_1} = \frac{k \frac{(q_1 + q_2)^2}{4r^2}}{k \frac{|q_1 q_2|}{r^2}} = \frac{(q_1 + q_2)^2}{4|q_1 q_2|}$

Подставим значение $\text{n}$:

$\frac{(q_1 + q_2)^2}{4|q_1 q_2|} = \frac{4}{3}$

Одноименными или разноименными были первоначально заряды q₁ и q₂ на шариках?

Рассмотрим два возможных случая для знаков начальных зарядов.

1. Заряды были разноименными ($q_1 q_2 < 0$). В этом случае начальная сила $F_1$ была силой притяжения. После соприкосновения (при условии $|q_1| \neq |q_2|$) шарики приобрели бы одинаковые по знаку заряды $q'$, и конечная сила $F_2$ стала бы силой отталкивания. Таким образом, характер взаимодействия изменился бы с притяжения на отталкивание. Фраза "сила увеличилась в $\text{n}$ раз", как правило, подразумевает количественное изменение величины без изменения ее физической природы. Качественное изменение типа силы обычно описывается иначе.

2. Заряды были одноименными ($q_1 q_2 > 0$). В этом случае начальная сила $F_1$ была силой отталкивания. После соприкосновения заряды $q'$ также остались бы одноименными, и конечная сила $F_2$ также является силой отталкивания. Характер взаимодействия не изменился. В этом случае формулировка "сила увеличилась" является полностью корректной и однозначной.

Исходя из этого, наиболее вероятным является второй случай. Следовательно, первоначальные заряды были одноименными.

Ответ: Первоначально заряды были одноименными.

Во сколько раз они отличались по модулю?

Поскольку мы установили, что заряды были одноименными, то $q_1 q_2 > 0$, и следовательно, $|q_1 q_2| = q_1 q_2$. Наше основное уравнение принимает вид:

$\frac{(q_1 + q_2)^2}{4 q_1 q_2} = \frac{4}{3}$

Проведем алгебраические преобразования:

$3(q_1 + q_2)^2 = 16 q_1 q_2$

$3(q_1^2 + 2q_1 q_2 + q_2^2) = 16 q_1 q_2$

$3q_1^2 + 6q_1 q_2 + 3q_2^2 - 16 q_1 q_2 = 0$

$3q_1^2 - 10q_1 q_2 + 3q_2^2 = 0$

Это однородное уравнение. Разделим обе его части на $q_2^2$ (заряд $q_2$ не может быть равен нулю, иначе начальная сила была бы равна нулю и не могла бы "увеличиться"):

$3\left(\frac{q_1}{q_2}\right)^2 - 10\left(\frac{q_1}{q_2}\right) + 3 = 0$

Введем замену $x = \frac{q_1}{q_2}$. Так как заряды одноименные, $x > 0$. Получаем квадратное уравнение:

$3x^2 - 10x + 3 = 0$

Найдем его корни через дискриминант:

$D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64 = 8^2$

$x_{1,2} = \frac{10 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 \pm 8}{6}$

Получаем два положительных корня:

$x_1 = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3$

$x_2 = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Оба решения указывают на то, что отношение модулей зарядов равно 3. То есть, $\frac{|q_1|}{|q_2|} = 3$ или $\frac{|q_1|}{|q_2|} = \frac{1}{3}$. В любом случае, модуль одного заряда в 3 раза больше модуля другого.

Ответ: Модули зарядов отличались в 3 раза.