Номер 12.8, страница 68 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 12. Электростатика - номер 12.8, страница 68.

Условие.

12.8. Три одинаковых одноименных заряда $\text{q}$ расположены в вершинах равностороннего треугольника. Какой заряд $\text{Q}$ нужно поместить в центр треугольника, чтобы система зарядов находилась в равновесии?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Три одинаковых одноименных заряда $\text{q}$ в вершинах равностороннего треугольника.

Заряд $\text{Q}$ в центре треугольника.

Система зарядов находится в равновесии.

Найти:

Величину заряда $\text{Q}$.

Решение:

Для того чтобы система зарядов находилась в равновесии, необходимо, чтобы равнодействующая всех электростатических сил, действующих на каждый из зарядов, была равна нулю. В силу симметрии задачи, достаточно рассмотреть условие равновесия для одного из зарядов в вершине треугольника, так как условие равновесия для центрального заряда будет выполняться автоматически.

Рассмотрим один из зарядов $\text{q}$, расположенный в вершине равностороннего треугольника со стороной $\text{a}$. На него действуют три силы:

1. Силы отталкивания $\vec{F_1}$ и $\vec{F_2}$ со стороны двух других зарядов $\text{q}$, расположенных в соседних вершинах.

2. Сила $\vec{F_Q}$ со стороны центрального заряда $\text{Q}$.

Модули сил $\vec{F_1}$ и $\vec{F_2}$ равны по закону Кулона:

$F_1 = F_2 = k \frac{q \cdot q}{a^2} = k \frac{q^2}{a^2}$, где $\text{k}$ – электростатическая постоянная.

Угол между векторами этих сил равен $60^\circ$, так как треугольник равносторонний. Результирующая этих двух сил $\vec{F_{qq}} = \vec{F_1} + \vec{F_2}$ направлена вдоль биссектрисы угла при вершине (то есть по линии, соединяющей вершину с центром треугольника) в сторону от центра. Её модуль найдем по правилу сложения векторов (теореме косинусов):

$F_{qq} = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2 F_1 F_2 \cos(60^\circ)} = \sqrt{(k \frac{q^2}{a^2})^2 + (k \frac{q^2}{a^2})^2 + 2 (k \frac{q^2}{a^2})^2 \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{3(k \frac{q^2}{a^2})^2} = k \frac{q^2 \sqrt{3}}{a^2}$

Для равновесия заряда $\text{q}$ сила $\vec{F_{qq}}$ должна быть скомпенсирована силой $\vec{F_Q}$, действующей со стороны центрального заряда $\text{Q}$. Это означает, что сила $\vec{F_Q}$ должна быть равна по модулю силе $\vec{F_{qq}}$ и направлена в противоположную сторону, то есть к центру треугольника. Следовательно, сила $\vec{F_Q}$ является силой притяжения, а значит, заряды $\text{q}$ и $\text{Q}$ должны иметь противоположные знаки.

Расстояние $\text{r}$ от центра равностороннего треугольника до его вершины вычисляется как $r = \frac{a}{\sqrt{3}}$. Модуль силы $\vec{F_Q}$, действующей на заряд $\text{q}$ со стороны заряда $\text{Q}$, равен:

$F_Q = k \frac{|qQ|}{r^2} = k \frac{|qQ|}{(a/\sqrt{3})^2} = k \frac{3|qQ|}{a^2}$

Приравняем модули сил $F_{qq}$ и $F_Q$ для выполнения условия равновесия $\vec{F_{qq}} + \vec{F_Q} = 0$:

$F_{qq} = F_Q$

$k \frac{q^2 \sqrt{3}}{a^2} = k \frac{3|qQ|}{a^2}$

Сократив одинаковые множители ($\text{k}$ и $a^2$), получим:

$q^2 \sqrt{3} = 3|qQ|$

Отсюда выразим модуль заряда $\text{Q}$:

$|Q| = \frac{q^2 \sqrt{3}}{3q} = \frac{q \sqrt{3}}{3} = \frac{q}{\sqrt{3}}$

Так как знаки зарядов $\text{q}$ и $\text{Q}$ должны быть противоположны, то окончательный результат:

$Q = - \frac{q}{\sqrt{3}}$

При таком значении $\text{Q}$ каждый из трех зарядов в вершинах будет находиться в равновесии. Центральный заряд $\text{Q}$ также находится в равновесии из-за симметричного расположения зарядов $\text{q}$, равнодействующая сил которых в центре равна нулю.

Ответ: Чтобы система зарядов находилась в равновесии, в центр треугольника нужно поместить заряд $Q = - \frac{q}{\sqrt{3}}$.