Номер 12.6, страница 68 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 12. Электростатика - номер 12.6, страница 68.

Условие.

12.6. Два разноименных точечных заряда $\text{q}$ и $-4q$ находятся на расстоянии $\text{a}$ друг от друга (см. рисунок). Каким должен быть третий заряд $\text{Q}$ и где следует его расположить, чтобы вся система находилась в равновесии?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Заряд 1: $q_1 = q$

Заряд 2: $q_2 = -4q$

Расстояние между $q_1$ и $q_2$: $\text{a}$

Найти:

Величину и знак заряда $\text{Q}$ и его положение для равновесия всей системы.

Решение:

Для того чтобы система из трех зарядов находилась в равновесии, необходимо, чтобы векторная сумма сил, действующих на каждый из зарядов, была равна нулю.

Расположим заряды на оси Ох. Пусть заряд $\text{q}$ находится в начале координат ($x=0$), а заряд $-4q$ — в точке с координатой $x=a$.

1. Определение положения заряда Q.

Третий заряд $\text{Q}$ должен находиться на прямой, проходящей через заряды $\text{q}$ и $-4q$. В противном случае, силы Кулона, действующие на крайние заряды $\text{q}$ и $-4q$ со стороны заряда $\text{Q}$, будут иметь составляющие, перпендикулярные этой прямой, которые не смогут быть скомпенсированы.

Заряд $\text{Q}$ не может находиться между зарядами $\text{q}$ и $-4q$, так как в этом случае силы, действующие на $\text{Q}$ со стороны $\text{q}$ и $-4q$ (которые разноименные), будут направлены в одну сторону, и их равнодействующая не будет равна нулю.

Следовательно, заряд $\text{Q}$ должен находиться на прямой за пределами отрезка, соединяющего заряды. Для равновесия, он должен быть расположен ближе к заряду с меньшим по модулю значением, то есть к заряду $\text{q}$. Поместим заряд $\text{Q}$ в точку с координатой $-x$ (где $x>0$ – расстояние от $\text{q}$).

Запишем условие равновесия для заряда $\text{Q}$. Сила, действующая на него со стороны заряда $\text{q}$, должна быть равна по модулю и противоположна по направлению силе со стороны заряда $-4q$.

$F_{q \to Q} = F_{-4q \to Q}$

$\frac{k|q \cdot Q|}{x^2} = \frac{k|(-4q) \cdot Q|}{(a+x)^2}$

Сократим общие множители, предполагая, что $q \neq 0$ и $Q \neq 0$:

$\frac{1}{x^2} = \frac{4}{(a+x)^2}$

Извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения (учитывая, что $\text{x}$ и $\text{a}$ – положительные величины), получим:

$\frac{1}{x} = \frac{2}{a+x}$

$a+x = 2x$

$x = a$

Итак, заряд $\text{Q}$ должен быть расположен на расстоянии $\text{a}$ от заряда $\text{q}$ со стороны, противоположной заряду $-4q$.

2. Определение величины и знака заряда Q.

Рассмотрим условие равновесия для заряда $\text{q}$, находящегося в точке $x=0$. На него действуют сила со стороны заряда $-4q$ (в точке $x=a$) и сила со стороны заряда $\text{Q}$ (в точке $x=-a$).

Сила со стороны заряда $-4q$ является силой притяжения и направлена вправо (вдоль оси Ох). Ее модуль равен:

$F_{-4q \to q} = \frac{k|q \cdot (-4q)|}{a^2} = \frac{4k q^2}{a^2}$

Для равновесия, сила со стороны заряда $\text{Q}$ должна быть направлена влево и иметь такой же модуль. Сила, действующая на заряд $\text{q}$ (в $x=0$) со стороны заряда $\text{Q}$ (в $x=-a$), будет направлена влево только в том случае, если она является силой притяжения. Это означает, что заряды $\text{q}$ и $\text{Q}$ должны иметь противоположные знаки.

Приравняем модули сил:

$F_{Q \to q} = F_{-4q \to q}$

$\frac{k|Q \cdot q|}{a^2} = \frac{4k q^2}{a^2}$

$|Q| \cdot |q| = 4|q|^2$

$|Q| = 4|q|$

Учитывая, что знаки зарядов $\text{Q}$ и $\text{q}$ противоположны, получаем:

$Q = -4q$

3. Проверка.

Проверим условие равновесия для заряда $-4q$ в точке $x=a$.

Сила со стороны заряда $\text{q}$ (в $x=0$) является силой притяжения, направлена влево. Ее модуль: $F_{q \to -4q} = \frac{4k q^2}{a^2}$.

Сила со стороны заряда $Q = -4q$ (в $x=-a$). Расстояние между ними $\text{2a}$. Заряды $\text{Q}$ и $-4q$ одноименные, следовательно, это сила отталкивания, направленная вправо. Ее модуль:

$F_{Q \to -4q} = \frac{k|(-4q) \cdot (-4q)|}{(2a)^2} = \frac{16k q^2}{4a^2} = \frac{4k q^2}{a^2}$

Силы, действующие на заряд $-4q$, равны по модулю и противоположны по направлению, значит, их равнодействующая равна нулю. Система находится в равновесии.

Ответ: Третий заряд должен быть $Q = -4q$, и его следует расположить на линии, соединяющей заряды, на расстоянии $\text{a}$ от заряда $\text{q}$ в сторону, противоположную заряду $-4q$.