Номер 12.18, страница 70 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 12. Электростатика - номер 12.18, страница 70.

Условие.

12.18*. На нитях равной длины, закрепленных в одной точке, висят два одинаковых маленьких металлических шарика. Шарикам сообщили равные заряды, в результате чего они разошлись на расстояние $a = 9,5 \text{ см}$, которое намного меньше длины нитей. Затем один из шариков разрядили. Что произойдет с шариками после этого? При каком расстоянии $\text{b}$ между шариками снова установится равновесие?

Решение.

Решение 2.

Что произойдет с шариками после этого?

После того, как один из шариков разрядили, его заряд стал равен нулю. Электростатическая сила отталкивания между шариками исчезла, и под действием силы тяжести они начнут сближаться. Поскольку шарики металлические (проводящие), при соприкосновении оставшийся заряд $\text{q}$ с первого шарика перераспределится равномерно между двумя одинаковыми шариками. Каждый шарик получит заряд $q' = q/2$. После этого между шариками снова возникнет сила отталкивания (так как заряды одноименные), которая заставит их разойтись на некоторое расстояние и установиться в новом положении равновесия.

Ответ: Шарики сойдутся, коснутся друг друга, заряд перераспределится, и они снова разойдутся на новое, меньшее расстояние, где установят новое равновесие.

При каком расстоянии b между шариками снова установится равновесие?

Дано:

$a = 9,5 \text{ см}$

$a = 0,095 \text{ м}$

Найти:

$\text{b}$ — ?

Решение:

Рассмотрим равновесие шарика в начальном состоянии. На него действуют три силы: сила тяжести $\text{mg}$, направленная вертикально вниз, сила натяжения нити $\text{T}$, направленная вдоль нити, и сила Кулона $F_{e1}$, направленная горизонтально. Пусть длина нити $\text{L}$, а угол отклонения нити от вертикали $\alpha$.

Из условия равновесия следует, что сумма проекций сил на горизонтальную и вертикальную оси равна нулю:

$T \sin\alpha = F_{e1}$

$T \cos\alpha = mg$

Разделив первое уравнение на второе, получим:

$\tan\alpha = \frac{F_{e1}}{mg}$

Сила Кулона в начальном состоянии, когда заряды шариков равны $\text{q}$, а расстояние между ними $\text{a}$, равна:

$F_{e1} = k \frac{q \cdot q}{a^2} = k \frac{q^2}{a^2}$

По условию, расстояние между шариками $\text{a}$ намного меньше длины нитей $\text{L}$ ($a \ll L$). Это означает, что угол $\alpha$ мал. Для малых углов справедливо приближение $\tan\alpha \approx \sin\alpha$. Из геометрии системы $\sin\alpha = \frac{a/2}{L} = \frac{a}{2L}$.

Тогда условие равновесия можно записать как:

$\frac{a}{2L} \approx \frac{k q^2 / a^2}{mg}$

Отсюда выразим $a^3$:

$a^3 = \frac{2Lkq^2}{mg}$ (1)

После того как один шарик разрядили, шарики соприкоснулись, и заряд $\text{q}$ перераспределился. Новый заряд каждого шарика стал $q' = \frac{q+0}{2} = \frac{q}{2}$.

Шарики разошлись и установили новое равновесие на расстоянии $\text{b}$. Запишем условие равновесия для нового состояния. Угол отклонения теперь $\beta$, и он также мал. Новая сила Кулона $F_{e2}$:

$F_{e2} = k \frac{q' \cdot q'}{b^2} = k \frac{(q/2)^2}{b^2} = k \frac{q^2}{4b^2}$

Условие равновесия аналогично предыдущему:

$\tan\beta \approx \sin\beta = \frac{b/2}{L} = \frac{b}{2L}$

$\frac{b}{2L} \approx \frac{F_{e2}}{mg} = \frac{k q^2 / (4b^2)}{mg}$

Выразим $b^3$:

$b^3 = \frac{2Lkq^2}{4mg}$ (2)

Теперь разделим уравнение (2) на уравнение (1):

$\frac{b^3}{a^3} = \frac{2Lkq^2 / (4mg)}{2Lkq^2 / mg} = \frac{1}{4}$

Отсюда находим $\text{b}$:

$b^3 = \frac{a^3}{4}$

$b = \sqrt[3]{\frac{a^3}{4}} = \frac{a}{\sqrt[3]{4}}$

Подставим числовое значение для $\text{a}$:

$b = \frac{9,5 \text{ см}}{\sqrt[3]{4}} \approx \frac{9,5}{1,5874} \approx 5,986 \text{ см} \approx 6,0 \text{ см}$

Ответ: $b = \frac{a}{\sqrt[3]{4}} \approx 6,0 \text{ см}$.