Номер 12.32, страница 71 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 12. Электростатика - номер 12.32, страница 71.

Условие.

12.32**. Вернитесь к условию задачи 12.31 и определите потенциал поля $ \phi $ на расстоянии $ r $ от центра шара. Постройте график зависимости $ \phi(r) $.

Решение.

Решение 2.

Задача 12.32 ссылается на условие задачи 12.31. Поскольку условие задачи 12.31 не предоставлено, будем исходить из наиболее вероятного предположения для задачи повышенной сложности, что в ней рассматривался сплошной непроводящий шар радиуса $\text{R}$, равномерно заряженный по всему объему с полным зарядом $\text{Q}$.

Дано:

Шар радиуса $\text{R}$
Полный заряд шара $\text{Q}$, равномерно распределенный по объему
Расстояние от центра шара $\text{r}$

Найти:

1. Потенциал поля $\phi$ как функцию расстояния $\text{r}$.
2. Построить график зависимости $\phi(r)$.

Решение:

Определение потенциала поля φ на расстоянии r от центра шара.

Для нахождения потенциала $\phi$ воспользуемся его связью с напряженностью электрического поля $\vec{E}$: $\vec{E} = -\nabla\phi$. В силу сферической симметрии задачи это соотношение упрощается до $E_r = -\frac{d\phi}{dr}$. Отсюда потенциал можно найти интегрированием: $\phi(r) = -\int E(r) dr + C$. Примем, что потенциал на бесконечности равен нулю, $\phi(\infty) = 0$.

Напряженность электрического поля $\text{E}$ для равномерно заряженного непроводящего шара (что, предположительно, было найдено в задаче 12.31) различна внутри и вне шара.

1. Вне шара ($r \ge R$). Поле совпадает с полем точечного заряда $\text{Q}$, помещенного в центр шара:
$E_{вне}(r) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{r^2}$
Потенциал в этой области:
$\phi_{вне}(r) = -\int_{\infty}^{r} E_{вне}(r') dr' = -\int_{\infty}^{r} \frac{Q}{4\pi\epsilon_0 r'^2} dr' = - \frac{Q}{4\pi\epsilon_0} \left[ -\frac{1}{r'} \right]_{\infty}^{r} = \frac{Q}{4\pi\epsilon_0} \left( \frac{1}{r} - 0 \right) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{r}$

2. Внутри шара ($r < R$). Напряженность поля линейно возрастает с расстоянием от центра:
$E_{вну}(r) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q r}{R^3}$
Для нахождения потенциала внутри шара, проинтегрируем напряженность от бесконечности до точки $\text{r}$, разбив интеграл на два участка: от $\infty$ до $\text{R}$ и от $\text{R}$ до $\text{r}$.
$\phi_{вну}(r) = -\int_{\infty}^{r} E(r') dr' = -\left( \int_{\infty}^{R} E_{вне}(r') dr' + \int_{R}^{r} E_{вну}(r') dr' \right)$
Первый интеграл есть не что иное, как потенциал на поверхности шара $\phi(R)$, который мы можем найти из формулы для внешнего потенциала:
$\phi(R) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{R}$
Вычислим второй интеграл:
$-\int_{R}^{r} E_{вну}(r') dr' = -\int_{R}^{r} \frac{Q r'}{4\pi\epsilon_0 R^3} dr' = -\frac{Q}{4\pi\epsilon_0 R^3} \left[ \frac{r'^2}{2} \right]_{R}^{r} = -\frac{Q}{8\pi\epsilon_0 R^3} (r^2 - R^2)$
Складывая оба результата, получаем потенциал внутри шара:
$\phi_{вну}(r) = \phi(R) - \frac{Q}{8\pi\epsilon_0 R^3} (r^2 - R^2) = \frac{Q}{4\pi\epsilon_0 R} - \frac{Q r^2}{8\pi\epsilon_0 R^3} + \frac{Q R^2}{8\pi\epsilon_0 R^3}$
Приводя к общему знаменателю:
$\phi_{вну}(r) = \frac{2Q}{8\pi\epsilon_0 R} + \frac{Q}{8\pi\epsilon_0 R} - \frac{Q r^2}{8\pi\epsilon_0 R^3} = \frac{3Q}{8\pi\epsilon_0 R} - \frac{Q r^2}{8\pi\epsilon_0 R^3}$
Вынесем общий множитель:
$\phi_{вну}(r) = \frac{Q}{8\pi\epsilon_0 R} \left( 3 - \frac{r^2}{R^2} \right)$

Таким образом, итоговая зависимость потенциала от расстояния $\text{r}$ имеет вид:
$\phi(r) = \begin{cases} \frac{Q}{8\pi\epsilon_0 R} \left( 3 - \frac{r^2}{R^2} \right) & \text{, при } r \le R \\ \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{r} & \text{, при } r > R \end{cases}$

Построение графика зависимости φ(r).

Проанализируем полученную функцию $\phi(r)$:
- В центре шара ($r=0$) потенциал максимален и равен $\phi(0) = \frac{3Q}{8\pi\epsilon_0 R}$.
- На поверхности шара ($r=R$) потенциал равен $\phi(R) = \frac{Q}{4\pi\epsilon_0 R}$. Заметим, что $\phi(0) = 1.5 \cdot \phi(R)$.
- Внутри шара ($0 \le r \le R$) потенциал убывает с ростом $\text{r}$ по параболическому закону.
- Вне шара ($r > R$) потенциал убывает обратно пропорционально расстоянию $\text{r}$ (гиперболический закон) и стремится к нулю при $r \to \infty$.
- Функция потенциала $\phi(r)$ и ее первая производная (с точностью до знака равная напряженности $E(r)$) непрерывны во всем пространстве, в том числе и на границе шара при $r=R$.

График зависимости $\phi(r)$ представлен ниже.

Ответ:
Потенциал поля на расстоянии $\text{r}$ от центра шара определяется формулами:
$\phi(r) = \begin{cases} \frac{Q}{8\pi\epsilon_0 R} \left( 3 - \frac{r^2}{R^2} \right) & \text{, при } r \le R \\ \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{r} & \text{, при } r > R \end{cases}$
где $\text{Q}$ - полный заряд шара, $\text{R}$ - его радиус, $\epsilon_0$ - электрическая постоянная. График зависимости $\phi(r)$ представлен выше.