Номер 12.36, страница 72 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 12. Электростатика - номер 12.36, страница 72.

Условие.

12.36**. Проводящий шар радиусом $\text{R}$ соединен тонкой длинной проволокой с землей. На расстоянии $\text{r}$ от его центра размещают положительный точечный заряд $\text{q}$. Какой заряд $\text{Q}$ приобретает шар? Влиянием проволоки на поле можно пренебречь.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Радиус проводящего шара: $\text{R}$

Расстояние от центра шара до точечного заряда: $\text{r}$ (подразумевается, что $r>R$)

Величина точечного заряда: $\text{q}$

Найти:

Заряд, который приобретет шар: $\text{Q}$

Решение:

По условию задачи, проводящий шар соединен с землей, следовательно, его потенциал равен потенциалу земли, который условно принимается за ноль. Так как шар является проводником, в условиях электростатического равновесия потенциал во всех его точках, как на поверхности, так и внутри, одинаков. Таким образом, потенциал в центре шара также равен нулю.

$\phi_{шара} = 0$

Потенциал в центре шара создается внешним точечным зарядом $\text{q}$ и индуцированным на поверхности шара зарядом $\text{Q}$. Согласно принципу суперпозиции электрических полей, результирующий потенциал в центре шара равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых этими зарядами:

$\phi_{центра} = \phi_q + \phi_Q$

Потенциал $\phi_q$, создаваемый точечным зарядом $\text{q}$, находящимся на расстоянии $\text{r}$ от центра шара, в этом центре равен:

$\phi_q = k \frac{q}{r}$

где $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$ — коэффициент в законе Кулона.

Индуцированный заряд $\text{Q}$ перетекает из земли и распределяется по поверхности шара радиусом $\text{R}$. Потенциал $\phi_Q$, создаваемый равномерно распределенным по сфере зарядом $\text{Q}$, в любой точке внутри сферы (и в ее центре в частности) постоянен и равен потенциалу на ее поверхности:

$\phi_Q = k \frac{Q}{R}$

Поскольку суммарный потенциал в центре шара равен нулю, можем составить уравнение:

$\phi_{центра} = \phi_q + \phi_Q = k \frac{q}{r} + k \frac{Q}{R} = 0$

Сократив на $\text{k}$ и решив уравнение относительно $\text{Q}$, получим:

$\frac{q}{r} + \frac{Q}{R} = 0$

$\frac{Q}{R} = -\frac{q}{r}$

$Q = -q \frac{R}{r}$

Этот результат имеет ясный физический смысл: так как по условию заряд $\text{q}$ положительный, он притягивает к себе отрицательные заряды (электроны) из земли, поэтому шар приобретает отрицательный заряд $\text{Q}$. Величина этого заряда тем больше, чем ближе к шару находится заряд $\text{q}$ (чем меньше $\text{r}$).

Ответ: Заряд, который приобретет шар, равен $Q = -q \frac{R}{r}$.