Номер 12.42, страница 73 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 12. Электростатика - номер 12.42, страница 73.

Условие.

12.42*. Два одинаковых металлических шарика радиусом $\text{r}$, имеющие заряды $\text{q}$, расположены на расстоянии $R \gg r$ друг от друга и далеко от земли. Шарики поочередно заземляют на короткое время. Какими станут заряды шариков после $\text{N}$ заземлений каждого из них?

Решение.

Решение 2.

Дано

Радиус шариков: $\text{r}$

Начальные заряды шариков: $q_1 = q_2 = q$

Расстояние между шариками: $\text{R}$ (причем $R \gg r$)

Число заземлений каждого шарика: $\text{N}$

Найти:

Заряды шариков $q_1^{(N)}$ и $q_2^{(N)}$ после $\text{N}$ заземлений каждого.

Решение

Обозначим шарики как 1 и 2. Процесс заземления происходит поочередно. Пусть в каждом цикле сначала заземляют шарик 1, а затем шарик 2.

Потенциал на поверхности проводящего шарика радиусом $\text{r}$ с собственным зарядом $q_{собств}$ в присутствии другого точечного заряда $q_{внешн}$ на расстоянии $\text{R}$ (условие $R \gg r$ позволяет считать второй шарик точечным зарядом) равен:

$\phi = k \frac{q_{собств}}{r} + k \frac{q_{внешн}}{R}$

При заземлении потенциал проводника становится равным нулю ($\phi = 0$), так как он соединяется с Землей, потенциал которой условно принят за ноль. Из этого условия можно найти новый заряд заземленного шарика.

Начальное состояние: $q_1 = q$, $q_2 = q$.

1-й цикл (N=1):

1. Заземляем шарик 1. Его новый заряд $q'_{1}$ определяется из условия $\phi_1=0$. В этот момент шарик 2 имеет заряд $\text{q}$.

$k \frac{q'_{1}}{r} + k \frac{q}{R} = 0 \implies q'_{1} = -q \frac{r}{R}$

2. Заземляем шарик 2. Его новый заряд $q'_{2}$ определяется из условия $\phi_2=0$. В этот момент шарик 1 имеет заряд $q'_{1}$.

$k \frac{q'_{2}}{r} + k \frac{q'_{1}}{R} = 0 \implies q'_{2} = -q'_{1} \frac{r}{R} = - \left(-q \frac{r}{R}\right) \frac{r}{R} = q \left(\frac{r}{R}\right)^2$

После первого полного цикла заряды шариков: $q_1^{(1)} = -q \frac{r}{R}$ и $q_2^{(1)} = q \left(\frac{r}{R}\right)^2$.

2-й цикл (N=2):

1. Заземляем шарик 1. Его новый заряд $q''_{1}$ определяется зарядом шарика 2, который равен $q_2^{(1)}$.

$k \frac{q''_{1}}{r} + k \frac{q_2^{(1)}}{R} = 0 \implies q''_{1} = -q_2^{(1)} \frac{r}{R} = - \left(q \left(\frac{r}{R}\right)^2\right) \frac{r}{R} = -q \left(\frac{r}{R}\right)^3$

2. Заземляем шарик 2. Его новый заряд $q''_{2}$ определяется зарядом шарика 1, который равен $q''_{1}$.

$k \frac{q''_{2}}{r} + k \frac{q''_{1}}{R} = 0 \implies q''_{2} = -q''_{1} \frac{r}{R} = - \left(-q \left(\frac{r}{R}\right)^3\right) \frac{r}{R} = q \left(\frac{r}{R}\right)^4$

После второго полного цикла заряды шариков: $q_1^{(2)} = -q \left(\frac{r}{R}\right)^3$ и $q_2^{(2)} = q \left(\frac{r}{R}\right)^4$.

Общий случай для N циклов:

Проанализировав результаты, можно выявить закономерность. Обозначим заряды после $\text{N}$ заземлений каждого шарика как $q_{1}^{(N)}$ и $q_{2}^{(N)}$.

Заряд второго шарика после $\text{N}$ циклов образует геометрическую прогрессию со знаменателем $(\frac{r}{R})^2$:

$q_{2}^{(N)} = q \left(\left(\frac{r}{R}\right)^2\right)^N = q \left(\frac{r}{R}\right)^{2N}$

Заряд первого шарика после $\text{N}$ циклов определяется его последним, $\text{N}$-м заземлением. В этот момент второй шарик имел заряд после $(N-1)$-го цикла, то есть $q_{2}^{(N-1)} = q \left(\frac{r}{R}\right)^{2(N-1)}$.

$q_{1}^{(N)} = -q_{2}^{(N-1)} \frac{r}{R} = -\left(q \left(\frac{r}{R}\right)^{2(N-1)}\right) \frac{r}{R} = -q \left(\frac{r}{R}\right)^{2N-2+1} = -q \left(\frac{r}{R}\right)^{2N-1}$

Ответ: После $\text{N}$ заземлений каждого из шариков их заряды станут равны:

заряд первого шарика (который заземлялся первым в каждом цикле): $q_1 = -q \left(\frac{r}{R}\right)^{2N-1}$

заряд второго шарика (который заземлялся вторым в каждом цикле): $q_2 = q \left(\frac{r}{R}\right)^{2N}$