Номер 12.45, страница 73 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 12. Электростатика - номер 12.45, страница 73.

Условие.

12.45**. По сферической оболочке радиусом $\text{R}$ равномерно распределен заряд $\text{Q}$. Найдите величину электростатического давления $p_{\text{э}}$, растягивающего оболочку.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Сферическая оболочка радиусом $\text{R}$

Полный заряд $\text{Q}$, равномерно распределенный по поверхности

Найти:

Электростатическое давление $p_э$

Решение:

Электростатическое давление на поверхность заряженной оболочки возникает из-за сил кулоновского отталкивания между элементами заряда, распределенными по этой поверхности. Для нахождения этого давления можно использовать несколько методов. Рассмотрим два из них.

Метод 1: Через напряженность поля

Рассмотрим небольшой участок поверхности $\text{dS}$ с зарядом $\text{dq}$. На этот заряд действует сила со стороны всех остальных зарядов на сфере. Электрическое поле вблизи поверхности заряженной сферы можно представить как сумму полей, создаваемых самим участком $\text{dS}$ ($E_{dS}$) и всей остальной частью сферы ($E_{ост}$).

Напряженность поля вне сферы известна и равна $E_{вне} = \frac{Q}{4\pi\epsilon_0 R^2}$. Внутри сферы поле равно нулю: $E_{вн} = 0$.

В непосредственной близости от поверхности поля $E_{dS}$ и $E_{ост}$ направлены в одну сторону (наружу от сферы) снаружи и в противоположные стороны внутри. Таким образом:

$E_{вне} = E_{ост} + E_{dS}$

$E_{вн} = E_{ост} - E_{dS} = 0 \implies E_{ост} = E_{dS}$

Отсюда следует, что $E_{вне} = 2E_{ост}$, и поле, действующее на заряд $\text{dq}$ на участке $\text{dS}$, равно:

$E_{ост} = \frac{1}{2} E_{вне} = \frac{1}{2} \frac{Q}{4\pi\epsilon_0 R^2}$

Сила, действующая на участок $\text{dS}$ с зарядом $dq = \sigma dS$, где $\sigma = \frac{Q}{4\pi R^2}$ - поверхностная плотность заряда, равна:

$dF = dq \cdot E_{ост} = (\sigma dS) \cdot \left(\frac{1}{2} \frac{Q}{4\pi\epsilon_0 R^2}\right)$

Давление $p_э$ - это сила, отнесенная к единице площади:

$p_э = \frac{dF}{dS} = \sigma \cdot \frac{1}{2} \frac{Q}{4\pi\epsilon_0 R^2} = \frac{Q}{4\pi R^2} \cdot \frac{Q}{8\pi\epsilon_0 R^2} = \frac{Q^2}{32\pi^2\epsilon_0 R^4}$

Метод 2: Энергетический

Потенциальная энергия электростатического поля, созданного заряженной сферической оболочкой, равна:

$U = \frac{Q^2}{8\pi\epsilon_0 R}$

где $\epsilon_0$ — электрическая постоянная.

Предположим, что под действием электростатических сил радиус оболочки увеличился на бесконечно малую величину $\text{dR}$. При этом силы совершили работу $\text{dA}$, которая равна убыли потенциальной энергии системы:

$dA = -dU$

Найдем дифференциал энергии по радиусу:

$dU = \frac{d}{dR} \left( \frac{Q^2}{8\pi\epsilon_0 R} \right) dR = -\frac{Q^2}{8\pi\epsilon_0 R^2} dR$

Тогда работа, совершаемая силами при расширении, равна:

$dA = - \left( -\frac{Q^2}{8\pi\epsilon_0 R^2} dR \right) = \frac{Q^2}{8\pi\epsilon_0 R^2} dR$

С другой стороны, эта работа может быть выражена через давление $p_э$, действующее на поверхность сферы площадью $S = 4\pi R^2$ при ее смещении на $\text{dR}$:

$dA = F dR = (p_э S) dR = p_э (4\pi R^2) dR$

Приравнивая два выражения для работы $\text{dA}$, получаем:

$p_э (4\pi R^2) dR = \frac{Q^2}{8\pi\epsilon_0 R^2} dR$

Сокращая $\text{dR}$ и выражая $p_э$, приходим к тому же результату:

$p_э = \frac{Q^2}{8\pi\epsilon_0 R^2 \cdot 4\pi R^2} = \frac{Q^2}{32\pi^2\epsilon_0 R^4}$

Это выражение можно также представить через поверхностную плотность заряда $\sigma = \frac{Q}{4\pi R^2}$ или напряженность электрического поля у поверхности сферы $E = \frac{Q}{4\pi\epsilon_0 R^2} = \frac{\sigma}{\epsilon_0}$. Тогда давление равно $p_э = \frac{\sigma^2}{2\epsilon_0} = \frac{\epsilon_0 E^2}{2}$.

Ответ: $p_э = \frac{Q^2}{32\pi^2\epsilon_0 R^4}$