Номер 12.43, страница 73 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 12. Электростатика - номер 12.43, страница 73.

Условие.

12.43. Металлический шар радиусом $R_1$, заряженный до потенциала $\varphi_1$, окружают концентрической с ним тонкой проводящей сферической оболочкой радиусом $R_2$. Каким станет потенциал шара, если его соединить проводником с оболочкой? Если соединить оболочку с Землей, не соединяя ее с шаром?

Решение.

Решение 2.

Дано:

$R_1$ - радиус металлического шара

$R_2$ - радиус концентрической сферической оболочки ($R_2 > R_1$)

$\phi_1$ - начальный потенциал шара

Найти:

1. Потенциал шара, если его соединить проводником с оболочкой ($\phi_{new}$)

2. Потенциал шара, если соединить оболочку с Землей, не соединяя ее с шаром ($\phi_1'$)

Решение:

Сначала определим заряд $q_1$ на внутреннем шаре, который создает начальный потенциал $\phi_1$. Потенциал на поверхности шара (на расстоянии $R_1$ от центра) равен сумме потенциалов от его собственного заряда $q_1$ и от индуцированных на оболочке зарядов. Так как оболочка изначально электрически нейтральна, заряд $q_1$ на шаре индуцирует на ее внутренней поверхности (радиусом $R_2$) заряд $-q_1$, а на внешней — заряд $+q_1$.

Потенциал, создаваемый сферическим слоем заряда $\text{Q}$ радиусом $\text{R}$ в любой точке внутри этой сферы ($r \le R$), постоянен и равен $k\frac{Q}{R}$, где $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$. Потенциал на поверхности шара радиусом $R_1$ складывается из потенциала от собственного заряда и потенциалов от зарядов на оболочке:

$\phi_1 = k\frac{q_1}{R_1} + k\frac{-q_1}{R_2} + k\frac{+q_1}{R_2} = k\frac{q_1}{R_1}$

Отсюда находим начальный заряд шара:

$q_1 = \frac{\phi_1 R_1}{k}$

Каким станет потенциал шара, если его соединить проводником с оболочкой?

При соединении шара и оболочки проводником они образуют единый проводник. По закону сохранения заряда, общий заряд системы $q_1$ сохранится. В состоянии электростатического равновесия весь этот заряд перераспределится и окажется на внешней поверхности этого составного проводника, то есть на сфере радиусом $R_2$.

Таким образом, система эквивалентна заряженной сфере радиусом $R_2$ с общим зарядом $q_1$. Потенциал этой сферы (а значит, и любой точки внутри нее, включая положение исходного шара) будет одинаковым и равным:

$\phi_{new} = k\frac{q_1}{R_2}$

Подставим выражение для $q_1$, найденное ранее:

$\phi_{new} = k \frac{1}{R_2} \left( \frac{\phi_1 R_1}{k} \right) = \phi_1 \frac{R_1}{R_2}$

Ответ: Потенциал шара станет равен $\phi_{new} = \phi_1 \frac{R_1}{R_2}$.

Если соединить оболочку с Землей, не соединяя ее с шаром?

При заземлении оболочки ее потенциал становится равным потенциалу Земли, то есть нулю ($\phi_{shell}' = 0$). Заряд на внутреннем шаре $q_1$ остается неизменным, так как шар электрически изолирован.

Потенциал оболочки создается зарядом шара $q_1$ и новым зарядом на самой оболочке $q_{shell}'$, который притекает из Земли для обеспечения нулевого потенциала.

$\phi_{shell}' = k\frac{q_1}{R_2} + k\frac{q_{shell}'}{R_2} = 0$

Из этого уравнения следует, что $q_1 + q_{shell}' = 0$, то есть $q_{shell}' = -q_1$. Этот заряд $-q_1$ распределится на внутренней поверхности оболочки, чтобы экранировать поле от внутреннего шара. Внешняя поверхность оболочки останется незаряженной.

Теперь найдем новый потенциал шара $\phi_1'$. Он складывается из потенциала от собственного заряда $q_1$ и потенциала от нового заряда оболочки $q_{shell}' = -q_1$.

$\phi_1' = k\frac{q_1}{R_1} + k\frac{q_{shell}'}{R_2} = k\frac{q_1}{R_1} + k\frac{-q_1}{R_2} = kq_1 \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$

Подставим в это выражение $q_1 = \frac{\phi_1 R_1}{k}$:

$\phi_1' = k \left( \frac{\phi_1 R_1}{k} \right) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = \phi_1 R_1 \left( \frac{R_2 - R_1}{R_1 R_2} \right) = \phi_1 \frac{R_2 - R_1}{R_2} = \phi_1 \left( 1 - \frac{R_1}{R_2} \right)$

Ответ: Потенциал шара станет равен $\phi_1' = \phi_1 \left( 1 - \frac{R_1}{R_2} \right)$.