Номер 12.41, страница 72 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 12. Электростатика - номер 12.41, страница 72.

Условие.

12.41*. Три концентрические тонкие металлические сферы имеют радиусы $R_1, R_2, R_3$, причем $R_1 < R_2 < R_3$. Первая и третья сферы заземлены, вторая имеет заряд $Q > 0$. Найдите зависимость $E(r)$ при всех $\text{r}$, где $\text{E}$ — напряженность электрического поля, а $\text{r}$ — расстояние от данной точки до центра сфер.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Три концентрические тонкие металлические сферы.

Радиусы сфер: $R_1, R_2, R_3$, причем $R_1 < R_2 < R_3$.

Потенциал первой сферы: $\phi(R_1) = 0$ (заземлена).

Потенциал третьей сферы: $\phi(R_3) = 0$ (заземлена).

Заряд второй сферы: $Q > 0$.

Найти:

Зависимость напряженности электрического поля от расстояния до центра сфер $E(r)$.

Решение:

Обозначим заряды, которые установятся на сферах, как $q_1$ (на первой), $\text{Q}$ (на второй, задан по условию) и $q_3$ (на третьей). Поскольку первая и третья сферы являются проводниками и заземлены, их потенциалы равны нулю. Заряды $q_1$ и $q_3$ являются индуцированными, и их необходимо определить.

Потенциал в точке, находящейся на расстоянии $\text{r}$ от центра системы, создаваемый сферической оболочкой радиуса $\text{R}$ с зарядом $\text{q}$, равен $\phi = \frac{kq}{r}$ при $r \ge R$ и $\phi = \frac{kq}{R}$ при $r \le R$, где $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$ – коэффициент в законе Кулона.

Согласно принципу суперпозиции, потенциал в любой точке равен сумме потенциалов, создаваемых каждой сферой. Запишем условия равенства нулю потенциалов на заземленных сферах:

Потенциал на поверхности первой сферы (при $r=R_1$):

$\phi(R_1) = \frac{kq_1}{R_1} + \frac{kQ}{R_2} + \frac{kq_3}{R_3} = 0$

Потенциал на поверхности третьей сферы (при $r=R_3$):

$\phi(R_3) = \frac{kq_1}{R_3} + \frac{kQ}{R_3} + \frac{kq_3}{R_3} = 0$

Из второго уравнения следует, что $q_1 + Q + q_3 = 0$. Это означает, что суммарный заряд системы равен нулю, так как внешняя сфера заземлена и экранирует систему от внешних полей (и наоборот).

Из этого соотношения выразим $q_3 = -(q_1 + Q)$ и подставим в первое уравнение (предварительно сократив на $\text{k}$):

$\frac{q_1}{R_1} + \frac{Q}{R_2} - \frac{q_1 + Q}{R_3} = 0$

Сгруппируем слагаемые с $q_1$ и $\text{Q}$:

$q_1 \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_3} \right) = Q \left( \frac{1}{R_3} - \frac{1}{R_2} \right)$

$q_1 \frac{R_3 - R_1}{R_1 R_3} = Q \frac{R_2 - R_3}{R_2 R_3}$

Отсюда находим заряд на первой сфере:

$q_1 = Q \frac{R_1(R_2 - R_3)}{R_2(R_3 - R_1)}$

Теперь, зная $q_1$, мы можем найти напряженность электрического поля $E(r)$ в различных областях пространства, используя теорему Гаусса. В силу сферической симметрии, напряженность поля на расстоянии $\text{r}$ от центра равна $E(r) = \frac{k q_{enc}}{r^2}$, где $q_{enc}$ - полный заряд внутри сферы радиуса $\text{r}$. Рассматривается модуль напряженности.

1. При $r < R_1$:

Внутри первой сферы заключенный заряд $q_{enc} = 0$. Следовательно, $E(r) = 0$.

2. При $R_1 < r < R_2$:

Заряд, заключенный внутри гауссовой поверхности, равен заряду первой сферы: $q_{enc} = q_1$. Так как $R_2 < R_3$, то $q_1 < 0$, и поле направлено к центру.

$E(r) = \frac{k |q_1|}{r^2} = \frac{k}{r^2} \left| Q \frac{R_1(R_2 - R_3)}{R_2(R_3 - R_1)} \right| = \frac{k Q}{r^2} \frac{R_1(R_3 - R_2)}{R_2(R_3 - R_1)}$

3. При $R_2 < r < R_3$:

Заряд, заключенный внутри гауссовой поверхности, равен сумме зарядов первой и второй сфер: $q_{enc} = q_1 + Q$. Из соотношения $q_1 + Q + q_3 = 0$ следует, что $q_1 + Q = -q_3$. Найдем этот заряд:

$q_1 + Q = Q \frac{R_1(R_2 - R_3)}{R_2(R_3 - R_1)} + Q = Q \left( \frac{R_1R_2 - R_1R_3 + R_2R_3 - R_1R_2}{R_2(R_3 - R_1)} \right) = Q \frac{R_3(R_2 - R_1)}{R_2(R_3 - R_1)}$

Так как $R_2 > R_1$ и $R_3 > R_1$, то $q_1 + Q > 0$, и поле направлено от центра.

$E(r) = \frac{k (q_1 + Q)}{r^2} = \frac{k Q}{r^2} \frac{R_3(R_2 - R_1)}{R_2(R_3 - R_1)}$

4. При $r > R_3$:

Заряд, заключенный внутри гауссовой поверхности, равен сумме зарядов всех трех сфер: $q_{enc} = q_1 + Q + q_3 = 0$.

Следовательно, $E(r) = 0$.

Напряженность поля внутри самих металлических оболочек также равна нулю.

Ответ:

Зависимость модуля напряженности электрического поля от расстояния до центра сфер $E(r)$ имеет вид:

$E(r) = \begin{cases}0, & \text{при } r < R_1 \\\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{r^2} \frac{R_1(R_3 - R_2)}{R_2(R_3 - R_1)}, & \text{при } R_1 < r < R_2 \\\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{r^2} \frac{R_3(R_2 - R_1)}{R_2(R_3 - R_1)}, & \text{при } R_2 < r < R_3 \\0, & \text{при } r > R_3\end{cases}$

Внутри материала сфер поле также равно нулю.