Номер 12.46, страница 73 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 12. Электростатика - номер 12.46, страница 73.

Условие.

12.46**. Капле ртути радиусом $R = 1$ мм, находящейся в вакууме, сообщили заряд $Q = 1$ нКл. Найдите давление $\text{p}$ внутри капли.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Радиус капли ртути, $R = 1$ мм.
Заряд капли, $Q = 1$ нКл.
Капля находится в вакууме.
Коэффициент поверхностного натяжения ртути (при 20°C), $\sigma \approx 0.465$ Н/м.
Электрическая постоянная, $\epsilon_0 \approx 8.854 \cdot 10^{-12}$ Ф/м.

Перевод в систему СИ:
$R = 1 \cdot 10^{-3}$ м.
$Q = 1 \cdot 10^{-9}$ Кл.

Найти:

Давление внутри капли $\text{p}$.

Решение:

Давление внутри жидкой капли, находящейся в вакууме, обусловлено двумя основными факторами: силами поверхностного натяжения, которые сжимают каплю, и силами электростатического отталкивания зарядов на ее поверхности, которые стремятся ее расширить.

1. Силы поверхностного натяжения создают избыточное давление внутри капли по сравнению с давлением снаружи. Это давление называется давлением Лапласа ($p_L$) и для сферической капли определяется формулой:

$p_L = \frac{2\sigma}{R}$

где $\sigma$ — коэффициент поверхностного натяжения жидкости, а $\text{R}$ — радиус капли.

2. Так как ртуть является проводником, сообщенный ей заряд $\text{Q}$ равномерно распределяется по ее поверхности. Силы кулоновского отталкивания между одноименными зарядами создают давление, направленное изнутри наружу. Это электростатическое давление ($p_e$) можно найти по формуле:

$p_e = \frac{\epsilon_0 E^2}{2}$

где $\text{E}$ — напряженность электрического поля на поверхности капли. Напряженность поля у поверхности заряженной сферы равна:

$E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{R^2}$

Подставим выражение для напряженности $\text{E}$ в формулу для электростатического давления:

$p_e = \frac{\epsilon_0}{2} \left( \frac{Q}{4\pi\epsilon_0 R^2} \right)^2 = \frac{\epsilon_0 Q^2}{2 \cdot 16\pi^2\epsilon_0^2 R^4} = \frac{Q^2}{32\pi^2\epsilon_0 R^4}$

Поскольку капля находится в вакууме, внешнее давление равно нулю. Итоговое давление $\text{p}$ внутри капли будет равно разности давления Лапласа, сжимающего каплю, и электростатического давления, расширяющего ее:

$p = p_L - p_e = \frac{2\sigma}{R} - \frac{Q^2}{32\pi^2\epsilon_0 R^4}$

Подставим числовые значения и произведем вычисления.

Рассчитаем давление Лапласа:

$p_L = \frac{2 \cdot 0.465 \text{ Н/м}}{1 \cdot 10^{-3} \text{ м}} = 930 \text{ Па}$

Рассчитаем электростатическое давление:

$p_e = \frac{(1 \cdot 10^{-9} \text{ Кл})^2}{32\pi^2 (8.854 \cdot 10^{-12} \text{ Ф/м}) (1 \cdot 10^{-3} \text{ м})^4} = \frac{10^{-18}}{32 \cdot (3.1416)^2 \cdot 8.854 \cdot 10^{-12} \cdot 10^{-12}} \approx \frac{10^{-18}}{2796.4 \cdot 10^{-24}} \approx 357.6 \text{ Па}$

Найдем итоговое давление внутри капли:

$p = p_L - p_e = 930 \text{ Па} - 357.6 \text{ Па} = 572.4 \text{ Па}$

Ответ: давление внутри капли ртути равно $572.4$ Па.