Номер 12.52, страница 74 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 12. Электростатика - номер 12.52, страница 74.

Условие.

12.52*. Найдите заряд каждого из конденсаторов и разность потенциалов между точками $\text{D}$ и $\text{E}$ (см. рисунок), если $C_1 = C_2 = C_3 = C$, а $C_4 = 4C$. К точкам $\text{A}$ и $\text{B}$ подведено постоянное напряжение $\text{U}$.

Решение.

Решение 2.

Дано:

$C_1 = C_2 = C_3 = C$

$C_4 = 4C$

Напряжение между точками A и B: $\text{U}$

Найти:

$q_1, q_2, q_3, q_4$ - заряд каждого из конденсаторов.

$U_{DE}$ - разность потенциалов между точками D и E.

Решение:

Схема состоит из двух параллельных ветвей, подключенных к источнику напряжения $\text{U}$. Напряжение на каждой ветви равно $\text{U}$.

Заряд каждого из конденсаторов

1. Рассмотрим верхнюю ветвь, где конденсаторы $C_1$ и $C_2$ соединены последовательно. Их эквивалентная ёмкость $C_{12}$ равна:

$\frac{1}{C_{12}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} = \frac{1}{C} + \frac{1}{C} = \frac{2}{C}$

$C_{12} = \frac{C}{2}$

При последовательном соединении заряд на каждом конденсаторе одинаков и равен общему заряду ветви. Общий заряд $q_{12}$ на этой ветви:

$q_{12} = C_{12} \cdot U = \frac{C}{2} \cdot U$

Следовательно, заряды на конденсаторах $C_1$ и $C_2$ равны:

$q_1 = q_2 = \frac{CU}{2}$

2. Рассмотрим нижнюю ветвь, где конденсаторы $C_3$ и $C_4$ соединены последовательно. Их эквивалентная ёмкость $C_{34}$ равна:

$\frac{1}{C_{34}} = \frac{1}{C_3} + \frac{1}{C_4} = \frac{1}{C} + \frac{1}{4C} = \frac{4+1}{4C} = \frac{5}{4C}$

$C_{34} = \frac{4C}{5}$

Общий заряд $q_{34}$ на этой ветви:

$q_{34} = C_{34} \cdot U = \frac{4C}{5} \cdot U$

Следовательно, заряды на конденсаторах $C_3$ и $C_4$ равны:

$q_3 = q_4 = \frac{4CU}{5}$

Ответ: $q_1 = q_2 = \frac{CU}{2}$; $q_3 = q_4 = \frac{4CU}{5}$.

Разность потенциалов между точками D и E

Разность потенциалов $U_{DE}$ определяется как $U_{DE} = \phi_D - \phi_E$, где $\phi_D$ и $\phi_E$ — потенциалы точек D и E соответственно. Согласно схеме, точка А подключена к отрицательному полюсу источника, а точка В — к положительному. Примем потенциал точки А равным нулю ($\phi_A = 0$), тогда потенциал точки В будет равен $\text{U}$ ($\phi_B = U$).

Потенциал в точке D равен напряжению на конденсаторе $C_1$, так как второй обкладкой он соединен с точкой A (с нулевым потенциалом):

$\phi_D = U_1 = \frac{q_1}{C_1} = \frac{CU/2}{C} = \frac{U}{2}$

Аналогично, потенциал в точке E равен напряжению на конденсаторе $C_3$:

$\phi_E = U_3 = \frac{q_3}{C_3} = \frac{4CU/5}{C} = \frac{4U}{5}$

Теперь найдем искомую разность потенциалов:

$U_{DE} = \phi_D - \phi_E = \frac{U}{2} - \frac{4U}{5} = \frac{5U - 8U}{10} = -\frac{3U}{10}$

Знак "минус" указывает на то, что потенциал точки E выше потенциала точки D.

Ответ: $U_{DE} = -\frac{3U}{10}$.