Номер 12.58, страница 75 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 12. Электростатика - номер 12.58, страница 75.

Условие.

12.58*. Пять точек попарно соединены конденсаторами емкости $\text{C}$. Какова емкость $C_0$ между любыми двумя из этих точек? Каким будет ответ для произвольного числа точек $\text{n}$?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Число точек: $n=5$ в первом случае, произвольное $\text{n}$ во втором.
Емкость каждого конденсатора, соединяющего любую пару точек: $\text{C}$.

Найти:

$C_0$ — эквивалентная емкость между двумя любыми точками.

Решение:

Задача решается методом потенциалов. Из-за симметрии системы эквивалентная емкость между любой парой точек будет одинаковой.

Какова емкость $C_0$ между любыми двумя из этих точек (для n=5)?

Рассмотрим пять точек, пронумерованных от 1 до 5. Найдем эквивалентную емкость $C_0$ между точками 1 и 2. Для этого мысленно подключим к этим точкам источник напряжения $\text{U}$. Пусть потенциал точки 1 будет $\phi_1 = U$, а потенциал точки 2 — $\phi_2 = 0$.

Остальные три точки (3, 4, 5) находятся в симметричных условиях относительно выделенной пары точек (1, 2). Следовательно, их потенциалы должны быть равны: $\phi_3 = \phi_4 = \phi_5 = \phi'$.

Так как точки 3, 4 и 5 не подключены к источнику (являются изолированными узлами), для каждой из них выполняется правило Кирхгофа: алгебраическая сумма зарядов на обкладках конденсаторов, сходящихся в узле, равна нулю. Запишем это условие для точки 3:

$C(\phi_3 - \phi_1) + C(\phi_3 - \phi_2) + C(\phi_3 - \phi_4) + C(\phi_3 - \phi_5) = 0$

Разделим уравнение на $\text{C}$ и подставим известные значения и обозначения потенциалов:

$(\phi' - U) + (\phi' - 0) + (\phi' - \phi') + (\phi' - \phi') = 0$

$2\phi' - U = 0$

Отсюда находим потенциал $\phi'$:

$\phi' = \frac{U}{2}$

Теперь вычислим общий заряд $\text{Q}$, который прошел через источник. Он равен сумме зарядов на конденсаторах, подключенных к точке 1:

$Q = Q_{12} + Q_{13} + Q_{14} + Q_{15} = C(\phi_1 - \phi_2) + C(\phi_1 - \phi_3) + C(\phi_1 - \phi_4) + C(\phi_1 - \phi_5)$

Подставляя значения потенциалов, получаем:

$Q = C(U - 0) + C(U - \frac{U}{2}) + C(U - \frac{U}{2}) + C(U - \frac{U}{2})$

$Q = CU + 3 \cdot C\frac{U}{2} = CU(1 + \frac{3}{2}) = \frac{5}{2}CU$

Эквивалентная емкость по определению $C_0 = Q/U$.

$C_0 = \frac{\frac{5}{2}CU}{U} = \frac{5}{2}C$

Ответ: Емкость между любыми двумя точками для пяти точек равна $2.5C$.

Каким будет ответ для произвольного числа точек n?

Обобщим приведенное выше решение на случай $\text{n}$ точек. Выберем две точки (1 и 2), между которыми ищется емкость, и зададим их потенциалы $\phi_1 = U$ и $\phi_2 = 0$.

Остальные $n-2$ точек (3, 4, ..., n) из-за симметрии будут иметь одинаковый потенциал $\phi'$.

Рассмотрим произвольную точку $\text{k}$ из этих $n-2$ точек ($k \ge 3$). Условие равенства нулю суммарного заряда для этого узла:

$\sum_{j=1, j \ne k}^{n} C(\phi_k - \phi_j) = 0$

Разделив на $\text{C}$ и раскрыв сумму:

$(\phi_k - \phi_1) + (\phi_k - \phi_2) + \sum_{j=3, j \ne k}^{n} (\phi_k - \phi_j) = 0$

Подставляя значения потенциалов ($\phi_k = \phi'$ и $\phi_j = \phi'$ для $j \ge 3$):

$(\phi' - U) + (\phi' - 0) + \sum_{j=3, j \ne k}^{n} (\phi' - \phi') = 0$

Слагаемые в сумме равны нулю. Таким образом, уравнение остается таким же, как и для случая $n=5$:

$2\phi' - U = 0 \implies \phi' = \frac{U}{2}$

Полный заряд $\text{Q}$, прошедший через источник, равен сумме зарядов на $n-1$ конденсаторах, подключенных к точке 1:

$Q = \sum_{j=2}^{n} Q_{1j} = C(\phi_1 - \phi_2) + \sum_{j=3}^{n} C(\phi_1 - \phi_j)$

Вторая сумма содержит $n-2$ одинаковых слагаемых.

$Q = C(U - 0) + (n-2) \cdot C(U - \phi') = CU + (n-2)C(U - \frac{U}{2})$

$Q = CU + (n-2)C\frac{U}{2} = CU(1 + \frac{n-2}{2}) = CU(\frac{2 + n - 2}{2}) = \frac{n}{2}CU$

Тогда искомая эквивалентная емкость $C_0$ для $\text{n}$ точек равна:

$C_0 = \frac{Q}{U} = \frac{\frac{n}{2}CU}{U} = \frac{n}{2}C$

Ответ: Для произвольного числа точек $\text{n}$ емкость между любыми двумя точками равна $C_0 = \frac{n}{2}C$.