Номер 12.63, страница 76 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 12. Электростатика - номер 12.63, страница 76.

Условие.

12.63*. В цепи (см. рисунок) емкость каждого конденсатора равна $\text{C}$. Вначале ключ разомкнут, конденсатор 1 заряжен до напряжения $U_0$, остальные конденсаторы не заряжены. Найдите напряжение на каждом из конденсаторов после замыкания ключа.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Емкость каждого конденсатора: $C_1 = C_2 = C_3 = C_4 = C_5 = C_6 = C$

Начальное напряжение на конденсаторе 1: $U_{1,0} = U_0$

Начальные напряжения на остальных конденсаторах: $U_{2,0} = U_{3,0} = U_{4,0} = U_{5,0} = U_{6,0} = 0$

Найти:

Конечные напряжения на конденсаторах: $U_1, U_2, U_3, U_4, U_5, U_6$

Решение:

В начальный момент времени, когда ключ разомкнут, только конденсатор 1 заряжен. Пусть его верхняя обкладка имеет заряд $+q_0$, а нижняя $-q_0$, где $q_0 = C U_0$. Остальные конденсаторы не заряжены.

После замыкания ключа заряды в цепи перераспределятся до установления электростатического равновесия. Для нахождения установившихся напряжений воспользуемся законом сохранения заряда для изолированных участков цепи и вторым правилом Кирхгофа.

Обозначим через $q_i$ и $U_i$ установившиеся заряд и напряжение на i-м конденсаторе. Будем считать заряд $q_i$ зарядом "верхней" (или "левой") обкладки, а напряжение $U_i = q_i/C$ — разностью потенциалов между "верхней" и "нижней" обкладками.

Конденсатор 6 закорочен, так как обе его обкладки подключены к одному и тому же узлу цепи. Следовательно, напряжение на нем и его заряд равны нулю: $U_6 = 0$.

Применим закон сохранения заряда к изолированным участкам цепи:

1. Верхние обкладки конденсаторов 1 и 2. Начальный заряд этого участка был $q_0 + 0 = C U_0$. После замыкания ключа суммарный заряд сохранится: $q_1 + q_2 = C U_0$. Разделив на емкость $\text{C}$, получим: $U_1 + U_2 = U_0$. (1)

2. Нижняя обкладка конденсатора 1, верхняя обкладка конденсатора 3 и верхняя обкладка конденсатора 4. Начальный заряд этого участка был $-q_0 + 0 + 0 = -C U_0$. В конечном состоянии: $-q_1 + q_3 + q_4 = -C U_0$, или $U_1 - U_3 - U_4 = U_0$. (2)

3. Нижняя обкладка конденсатора 4 и верхняя обкладка конденсатора 5. Начальный заряд равен нулю: $-q_4 + q_5 = 0 \implies q_4 = q_5$, откуда $U_4 = U_5$. (3)

4. Нижние обкладки конденсаторов 2, 3 и 5. Начальный заряд равен нулю: $-q_2 - q_3 - q_5 = 0 \implies q_2 + q_3 + q_5 = 0$, откуда $U_2 + U_3 + U_5 = 0$. (4)

Применим второе правило Кирхгофа для замкнутых контуров:

5. Для контура, содержащего конденсаторы 1, 2, 3 (обход по часовой стрелке от узла между 1,3,4): $U_3 - U_2 + U_1 = 0$. (5)

Получили систему уравнений для напряжений $U_1, \dots, U_5$. Решим её.

Из уравнения (4) с учетом (3) ($U_4=U_5$) получаем: $U_2 + U_3 + U_4 = 0$.

Рассмотрим ещё один контур: 3, 4, 5. Обходя по часовой стрелке от узла между 1,3,4, имеем: $U_3 - U_5 - U_4 = 0$. С учетом (3), получаем $U_3 - U_4 - U_4 = 0 \implies U_3 = 2U_4$.

Подставим $U_3 = 2U_4$ в уравнение (4) с учетом (3): $U_2 + 2U_4 + U_4 = 0 \implies U_2 = -3U_4$.

Теперь из уравнения (5) выразим $U_1$: $U_1 = U_2 - U_3 = -3U_4 - 2U_4 = -5U_4$.

Подставим выражения для $U_1$ и $U_2$ через $U_4$ в уравнение (1):

$(-5U_4) + (-3U_4) = U_0 \implies -8U_4 = U_0 \implies U_4 = -\frac{U_0}{8}$.

Теперь можем найти все остальные напряжения.

Напряжение на конденсаторе 1

$U_1 = -5U_4 = -5(-\frac{U_0}{8}) = \frac{5}{8}U_0$.

Ответ: $U_1 = \frac{5}{8}U_0$.

Напряжение на конденсаторе 2

$U_2 = -3U_4 = -3(-\frac{U_0}{8}) = \frac{3}{8}U_0$.

Ответ: $U_2 = \frac{3}{8}U_0$.

Напряжение на конденсаторе 3

$U_3 = 2U_4 = 2(-\frac{U_0}{8}) = -\frac{U_0}{4}$. Знак минус означает, что потенциал нижней обкладки выше, чем верхней. Величина напряжения составляет $\frac{U_0}{4}$.

Ответ: $U_3 = -\frac{1}{4}U_0$.

Напряжение на конденсаторе 4

$U_4 = -\frac{U_0}{8}$. Знак минус означает, что потенциал нижней обкладки выше, чем верхней. Величина напряжения составляет $\frac{U_0}{8}$.

Ответ: $U_4 = -\frac{1}{8}U_0$.

Напряжение на конденсаторе 5

$U_5 = U_4 = -\frac{U_0}{8}$. Знак минус означает, что потенциал нижней обкладки выше, чем верхней. Величина напряжения составляет $\frac{U_0}{8}$.

Ответ: $U_5 = -\frac{1}{8}U_0$.

Напряжение на конденсаторе 6

Как было отмечено ранее, конденсатор 6 закорочен, поэтому напряжение на нем равно нулю.

Ответ: $U_6 = 0$.