Номер 12.57, страница 75 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 12. Электростатика - номер 12.57, страница 75.

Условие.

12.57*. Два конденсатора, имеющие емкости $C_1 = 10 \text{ мкФ}$ и $C_2 = 50 \text{ мкФ}$, соединены последовательно. Конденсаторы могут выдержать напряжение, соответственно, $U_1$ и $U_2$. Какое наибольшее напряжение $U_{\text{max}}$ выдержит батарея из этих конденсаторов? Решите задачу при

а) $U_1 = U_2 = 120 \text{ В}$;

б) $U_1 = 120 \text{ В}, U_2 = 6 \text{ В}$.

Решение.

Решение 2.

Дано:

$C_1 = 10 \text{ мкФ} = 10 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}$

$C_2 = 50 \text{ мкФ} = 50 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}$

а) $U_1 = 120 \text{ В}, U_2 = 120 \text{ В}$

б) $U_1 = 120 \text{ В}, U_2 = 6 \text{ В}$

Найти:

$U_{max}$ — наибольшее напряжение батареи конденсаторов для случаев а) и б).

Решение:

При последовательном соединении конденсаторов заряд на каждом из них одинаков: $q_1 = q_2 = q$. Общее напряжение на батарее равно сумме напряжений на каждом конденсаторе: $U = U_1' + U_2'$.

Каждый конденсатор может выдержать максимальное напряжение ($U_1$ и $U_2$), что соответствует максимальному заряду, который он может накопить:

$q_{1max} = C_1 \cdot U_1$

$q_{2max} = C_2 \cdot U_2$

Поскольку при последовательном соединении заряд на обоих конденсаторах одинаков, максимальный заряд, который может накопить батарея, определяется наименьшим из максимальных зарядов отдельных конденсаторов:

$q_{max} = \min(q_{1max}, q_{2max})$

Когда батарея заряжена до этого максимального заряда $q_{max}$, напряжения на конденсаторах будут равны:

$U_{1}' = \frac{q_{max}}{C_1}$

$U_{2}' = \frac{q_{max}}{C_2}$

Наибольшее напряжение, которое выдержит батарея, равно сумме этих напряжений:

$U_{max} = U_{1}' + U_{2}'$

а) $U_1 = U_2 = 120 \text{ В}$

1. Найдем максимальные заряды для каждого конденсатора:

$q_{1max} = C_1 \cdot U_1 = 10 \cdot 10^{-6} \text{ Ф} \cdot 120 \text{ В} = 1200 \cdot 10^{-6} \text{ Кл} = 1,2 \text{ мКл}$

$q_{2max} = C_2 \cdot U_2 = 50 \cdot 10^{-6} \text{ Ф} \cdot 120 \text{ В} = 6000 \cdot 10^{-6} \text{ Кл} = 6,0 \text{ мКл}$

2. Определим максимальный заряд батареи. Он равен наименьшему из двух значений:

$q_{max} = \min(1,2 \text{ мКл}, 6,0 \text{ мКл}) = 1,2 \cdot 10^{-3} \text{ Кл}$

Это означает, что первым достигнет своего предельного напряжения конденсатор $C_1$.

3. Рассчитаем напряжения на конденсаторах при этом заряде:

Напряжение на первом конденсаторе достигнет своего предела:

$U_{1}' = \frac{q_{max}}{C_1} = \frac{1,2 \cdot 10^{-3} \text{ Кл}}{10 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}} = 120 \text{ В}$

Напряжение на втором конденсаторе будет:

$U_{2}' = \frac{q_{max}}{C_2} = \frac{1,2 \cdot 10^{-3} \text{ Кл}}{50 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}} = 24 \text{ В}$

4. Найдем наибольшее напряжение на всей батарее:

$U_{max} = U_{1}' + U_{2}' = 120 \text{ В} + 24 \text{ В} = 144 \text{ В}$

Ответ: 144 В.

б) $U_1 = 120 \text{ В}, U_2 = 6 \text{ В}$

1. Найдем максимальные заряды для каждого конденсатора:

$q_{1max} = C_1 \cdot U_1 = 10 \cdot 10^{-6} \text{ Ф} \cdot 120 \text{ В} = 1200 \cdot 10^{-6} \text{ Кл} = 1,2 \text{ мКл}$

$q_{2max} = C_2 \cdot U_2 = 50 \cdot 10^{-6} \text{ Ф} \cdot 6 \text{ В} = 300 \cdot 10^{-6} \text{ Кл} = 0,3 \text{ мКл}$

2. Определим максимальный заряд батареи:

$q_{max} = \min(1,2 \text{ мКл}, 0,3 \text{ мКл}) = 0,3 \cdot 10^{-3} \text{ Кл}$

В этом случае первым достигнет своего предельного напряжения конденсатор $C_2$.

3. Рассчитаем напряжения на конденсаторах при этом заряде:

Напряжение на первом конденсаторе будет:

$U_{1}' = \frac{q_{max}}{C_1} = \frac{0,3 \cdot 10^{-3} \text{ Кл}}{10 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}} = 30 \text{ В}$

Напряжение на втором конденсаторе достигнет своего предела:

$U_{2}' = \frac{q_{max}}{C_2} = \frac{0,3 \cdot 10^{-3} \text{ Кл}}{50 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}} = 6 \text{ В}$

4. Найдем наибольшее напряжение на всей батарее:

$U_{max} = U_{1}' + U_{2}' = 30 \text{ В} + 6 \text{ В} = 36 \text{ В}$

Ответ: 36 В.