Номер 12.60, страница 75 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 12. Электростатика - номер 12.60, страница 75.

Условие.

12.60. Найдите разность потенциалов между точками А и В (см. рисунок).

К задаче 12.60

Решение.

Решение 2.

Дано:

Емкости конденсаторов: $C_1, C_2$

ЭДС источников: $\mathscr{E}_1, \mathscr{E}_2$

Найти:

Разность потенциалов между точками А и В: $\phi_A - \phi_B$

Решение:

В установившемся режиме, когда конденсаторы полностью заряжены, ток в цепи не течет. Разность потенциалов между точками A и B можно найти, используя метод потенциалов.

Примем потенциал в точке B за ноль для удобства расчетов, то есть $\phi_B = 0$.

Определим потенциалы в других узлах схемы относительно точки B.

Точка D соединена с точкой B через источник ЭДС $\mathscr{E}_1$. При движении от отрицательного полюса (в точке B) к положительному (в точке D) потенциал увеличивается на величину ЭДС. Таким образом, потенциал в точке D:

$\phi_D = \phi_B + \mathscr{E}_1 = 0 + \mathscr{E}_1 = \mathscr{E}_1$

Правая обкладка конденсатора $C_2$ соединена с точкой B через источник ЭДС $\mathscr{E}_2$. Обозначим точку на этой обкладке как E. При движении от положительного полюса (в точке B) к отрицательному (в точке E) потенциал уменьшается на величину ЭДС. Таким образом, потенциал в точке E:

$\phi_E = \phi_B - \mathscr{E}_2 = 0 - \mathscr{E}_2 = -\mathscr{E}_2$

Участок цепи, содержащий точку A, является изолированным. Он состоит из правой обкладки конденсатора $C_1$ и левой обкладки конденсатора $C_2$. По закону сохранения заряда, суммарный заряд на этом изолированном участке равен нулю, так как до подключения источников конденсаторы были не заряжены.

Заряд на правой обкладке конденсатора $C_1$ определяется разностью потенциалов на его обкладках:

$q_1 = C_1 (\phi_A - \phi_D)$

Заряд на левой обкладке конденсатора $C_2$ также определяется разностью потенциалов:

$q_2 = C_2 (\phi_A - \phi_E)$

Условие электронейтральности изолированного участка записывается как:

$q_1 + q_2 = 0$

Подставим выражения для зарядов и потенциалов в это уравнение:

$C_1 (\phi_A - \phi_D) + C_2 (\phi_A - \phi_E) = 0$

$C_1 (\phi_A - \mathscr{E}_1) + C_2 (\phi_A - (-\mathscr{E}_2)) = 0$

$C_1 (\phi_A - \mathscr{E}_1) + C_2 (\phi_A + \mathscr{E}_2) = 0$

Раскроем скобки и выразим потенциал $\phi_A$:

$C_1 \phi_A - C_1 \mathscr{E}_1 + C_2 \phi_A + C_2 \mathscr{E}_2 = 0$

$\phi_A (C_1 + C_2) = C_1 \mathscr{E}_1 - C_2 \mathscr{E}_2$

$\phi_A = \frac{C_1 \mathscr{E}_1 - C_2 \mathscr{E}_2}{C_1 + C_2}$

Искомая разность потенциалов — это $\phi_A - \phi_B$. Так как мы приняли $\phi_B = 0$, то разность потенциалов равна $\phi_A$.

$\phi_A - \phi_B = \frac{C_1 \mathscr{E}_1 - C_2 \mathscr{E}_2}{C_1 + C_2} - 0 = \frac{C_1 \mathscr{E}_1 - C_2 \mathscr{E}_2}{C_1 + C_2}$

Ответ: Разность потенциалов между точками А и В равна $\phi_A - \phi_B = \frac{C_1 \mathscr{E}_1 - C_2 \mathscr{E}_2}{C_1 + C_2}$.